Kg
y
Fc
g
sinwt
y
y. .y.
PP P
K(st+y)
P
Pcg y.y. .
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
2．系统参数：
1)固有频
率w0：
w0
g
st
Kg P
2)阻尼系 数n：
n
gc 2P
3．振动物体的微分方程：y..
2n
.
y
w02
y
Fc g P
sinwt
4．小阻尼条件下(n< w0)，方程通解为：
y Aent sin( w02 n2t ) Bsin(w t e )
eBaPFrwcc gt02anw1202nwww
/w0
2
2
2
1
4n/w0 2 w /w0 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
4．小阻尼条件下(n<w0)，方程通解为： 1)通解第一项随时间增加而减小—衰减振动；
4.0
(B)→∞— 共 振 现 象 ， 3.0
产生极大振动应力；
2.0
➢有阻尼存在(n≠0)：
为高峰有g
Axg
g
a
P
Pa g
0
FNd mm
FNd
( Axg
P)(1
a) g
Agx
a x Agx a x
g
d
FNd A
Axg
A
P (1
a) g
st
Axg
A
P
d kd st
P
P
Pg / a
kd
1
a g
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
二、匀加速直线运动构件的动应力
2．计算公式：
2)
c
Fc g
Pw02
Fc K
—c是把激振力的最大值Fc以静荷
方式作用在系统中引起的变形。
3)B为强迫振动的振幅：
B c
dmax dmin
st st
B B
—放大系数：
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2w /w0 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
w
1)ds段惯性力为：
t
ds pi
(FNd )ds
(b
ds
t
g )(
g
Dw2)
2
dj j
DO
2)环壁单位面积惯性力pi：
pi
(FNd )ds bds
tgDw 2
2g
3)圆环的环向应力 qd为：
qd
pi D 2t
g D2 w2
4g
g
v2 g
v Dw / 2 —圆环切向速度
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
第十三章 动应力
• §13-1 概 述 • §13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算 • §13-3 强迫振动时的应力计算 • §13-4 冲击应力及变形的计算 • §13-5 考虑受冲杆件质量时应力和变形的计算* •小 结
一、动载荷
§13-1 概 述
1．静载荷：载荷缓慢增加，不考虑加速度。 2．动载荷：载荷突然变化，构件有显著加速度。
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径
R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截
面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。
FNd
qd
解：1)dx微段惯性力：
l
dFd
gAdx
g
(w 2 x)
2)单位长度惯性力：
3．动静法(惯性力法)：
将运动物体等效转变为静止或匀速直线运动 情况，从而将动力学问题转化为静力学问题 的方法。 4．两类问题： 1)匀加速直线运动构件； 2)匀角速转动构件；
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
二、匀加速直线运动构件的动应力
1．引例：以加速度a提升重物，绳索横截面面积A，
材料容重g ，计算绳索横截面应力
大切应力准则设计轴的直径。
e
T1 J0e
C A
T1 D
B
P1
P1(1
a g
)
FS
T1 T2 T FS+P2
P1
A
C
B P1g / a
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
1
P2
D
2
2a
2 g 2 D
0.612kN• m
T2
FS
D 2
a 36.24kN• m
M
1 4
(FS
FNd
qd
l
4)FNd在x=R处最大：
FNd max
gAw 2
2g
(2R l)l
R
x
dx
5)叶根部的动应力： d
FNd max A1
gw 2
g
(2R l)l
55.8 MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 卷扬机以a=5m/s2起吊重物P1=40kN，轴AB长1m，轴中点
C的鼓轮重P2=4kN，直径D=1.2m，材料 [ ]=100MPa，按最
1)动荷系数：
kd
1
a g
kd ：动应力与静应力的比值；
2)动应力： d kd st
3)强度条件：
d kd st [ ] [ ]：静载许用应力
4)动变形： d kdst
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
三、匀角速旋转构件的动应力
1．引例：薄圆环直径D，厚度t，垂直纸面宽b，以
匀角速度w绕O点转动，求圆环中的动应力。
3．动(荷)应力：动载荷在构件中产生的应力，当动
应力不超过比例极限时，弹性模量 不变，胡克定律仍适用。
二、三类动荷问题 1．匀加速直线运动或匀角速转动； 2．强迫振动； 3．冲击；
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
一、动静法
1．惯性力：| Fi | ma —方向与加速度方向相反 2．惯性力加到物体上等效成平衡无加速度情况；
R x
dx
qd
dFd dx
gAw 2
g
x
3)x截面处轴向力：FNd
Rl
x
qddx
gAw
2g
2
[(R
l )2
x2]
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径
R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截
面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。
P2 )l
16.1kN• m
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
强迫振动：构件由外界干扰力引起的振动。
最小位移位置 wt
A
Fc
B
C
st
st
BB
静平衡位置 最大位移位置
l
y
1．动静法列平衡方程：
P g
y. .
c
y.
K (st
y)
P
Fc sinwt
0
PKst
..
y
gc
.
y
5．动应力：
d
(1
c st
)
st
(1
Fc P
)
st
kd
st
kd
1
Fc P
—振动的动荷系数。
6．强度条件：
梁内危险截面上危险点的应力在dmax和dmin之
间作周期性的交替变化，强度条件应按交变应 力处理。
§13-3 强迫振动时的应力计算
二、对放大系数 的讨论
1．w /w0→1时：
5.0
➢无阻尼存在(n=0)：