5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 ,
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
应力 ,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
MPa
22.5
0
00
222.5222.或5.51或12或.15112.152.5
max 105
max
min
x
-
2
y
2
+
2 x
85MPa
min 65
点面对应
y
y
A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b
2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
-450
+ max
断开的。因此，可以认为这种脆性破
坏是由最大拉应力引起的。
450 0
例题4:图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：
离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
L/4 L/4 L/2
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
2
+ xy
2
cos 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
sin
2
低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
2点
bh3 500cm4 12
(处于纯剪状态)
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
1 30MPa 2 0
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy
yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
- y (dAsin q) cos q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2 q + y sin2 q - xy sinq cosq - yx sinq cosq x' y' x sinq cosq - y sinq cosq + xy cos2 q - yx sin2 q
0.469MPa
C C
C
§8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力
y y
y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x,xy)
2 20
CF A
A1 1
D’ (y, yx) G2 "
tg- 20
DDAF CCAF
tg 2 0
- 2 x x - y
max
A1
OC
+
CA 1
x
+ y
2
+
x
-
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2q
- xy sin 2q
x'y' x - y sin 2q + xy cos 2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y' x'
x'
y''
3点
3
(一般平面状态)
Fs
S
* z
My Iz
10103 25
50MPa 500 10
4
Izb
1 58.6MPa
2122.50M51P00a03 160042650 37.5
2 0 3 -8.6MPa
3 -30MPa
4点1 100MPa
2 0 3 0
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,
单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, y -40MPa
x 80MPa, y -40MPa
x -60MPa, = 30
x10-x26M+2x0+2PMayP+ay ,+x-2x=-2y
30
coys
2 - x
cos 2
sin
-
2
x sin
2
1x0-2M yPsain 2
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
Fx 0 Fy 0
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
目录
３、几种对应关系
y
y
x D
x
A
c o
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
2
y
2
+
2 x
min
B
1
OC
-
CB1
x
+ y
2
-
x
-
2
y
2
+
2 x
圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正 应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆
中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：
y
y
m in
max x
x
0 max
m in
B1 B O 2
G1',E
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
450
min
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
- sin 2
max
x - y sin 2
2
+ x cos 2
cos 2
450
max
-
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
D’ (y, yx) G2 "
EL CE sin2 + 2 CEsin 2 cos2 + cos2 sin 2 CD cos2 sin 2 + CD sin 2 cos2
CAsin 2 + DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
x
(dA
cos
q
)
cosq
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- y (dAsin q) sin q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
-x'y'dA +x (dAcos q) sin q +xy (dAcos q) cos q -yx (dAsin q) sin q