高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案
第一章 1.2
写出约束在铅直平面内的光滑摆线
上运动的质点的微
分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.
解：
设s 为质点沿摆线运动时的路程，取 =0时，s=0
S=
= 4 a (1
)
X
Y
设
为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角，取逆时针为正，
即切线斜率
=
受力分析得：
则
，此即为质点的运动微分方程。

该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.
1.3
证明：设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动
运动微分方程为θθθ
F r r m =+)2(&&&& θθ
sin mg mr =&& ①
给①式两边同时乘以d θ θθθθ
d g d r sin =&& 对上式两边关于θ&积分得 c g r +=θθcos 2
12& ②
利用初始条件0θθ=时0=θ
&故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0cos cos 2-θθθ
-•=l
g & 上式可化为dt d l
g
=⨯-•θθθ0cos cos 2-
两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ⎰⎰---
=--
=0
2
02
2
200
2
sin 12
sin 1001
2cos cos 12
进一步化简可得θθθθd g l t ⎰-=
0002
222sin sin 1
2
1 由于上面算的过程只占整个周期的1/4故
⎰-==0
2
2
2
sin 2
sin 12
4T θθθ
θd g l t
由ϕθθsin 2
sin /2sin 0=
两边分别对θϕ微分可得ϕϕθ
θθd d cos 2
sin 2cos 0=
ϕθθ
20
2
sin 2
sin 12
cos
-=
故ϕϕ
θϕ
θθd d 20
2
sin 2
sin 1cos 2
sin
2
-= 由于00θθ≤≤故对应的2
0π
ϕ≤≤
故ϕϕ
θ
ϕ
θϕθθ
θθπ
θd g l d g l T ⎰⎰-=-=20
20
2
2
cos 2
sin
sin 2
sin 1/cos 2
sin
4
2
sin
2
sin 2
故⎰-=2
022sin 14πϕϕK d g l T 其中2
sin
022θ=K 通过进一步计算可得
g
l π
2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222ΛΛΛΛ+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯++n K n n K K
1.5
z
p点
y
x
解：
如图，在半径是R的时候，由万有引力公式，
对表面的一点的万有引力为
, ①
M为地球的质量；
可知，地球表面的重力加速度g , x为取地心到无限远的广义坐标，
，②
联立①，②可得：
,M为地球的质量；③
当半径增加,R2=R+,此时总质量不变，仍为M,
此时表面的重力加速度可求：
④
B
e e
ө
y
由④得：
⑤
则，半径变化后的g 的变化为
⑥
对⑥式进行通分、整理后得：
⑦
对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R ，得
⑧
则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：。

1.6
解：由题意可建立如图所示的平面极坐标系 则由牛顿第二定律可知， 质点的运动方程为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-θθθθθsin )2(cos )(2mg r r m mg F r r m &&&&&&&
其中，
X
Vt
L r L r V r -==-=,,0&
1.8
设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。

解：设，质点的加速度的切向分量大小为，法向分量大小为。

(其中、为常数)则有
其中为曲率半径。

由
式得
其中是
初始位置，
是初始速度大小。

把式代入式得
由式
对
式积分则得
其中
是初始角大小。

我们把
式转化为时间关于角的函数
将
式代入
式，于是得质点的轨道方程
当我们取一定的初始条件
时，令。

方程可以简化为
○
11 即质点的轨迹为对数螺线。

1.9
解：（1）从A 点到原长位置，此时间内为自由落体运动。

根据能量守恒：212
1
mV mgl =
, 所以在原长位置时：112gl V =。