( x ) ,x [ a , b ] ,且 y ( x ) C 1 ( a , b [ ] ,则 )
f( x ,y )d s b f( x ,y ( x )) 1 y 2 d x ( 1 ).
L
a
由于对弧长的曲与线起积点分、终点的关选 , 取无
所,以 总可以认为方 弧向 长 x的 与 的 增增 加加 方 . 向
则称该极 f(x,限 y)在 值曲 为 LA线 B 上对弧长的 , 记 曲 为 线
n
L AB f(x,y)dsl i0im 1f(i, i)si.
对弧长的曲线积分的号 记
n
L AB f(x,y)dsl i0im 1f(i, i) si. —对弧长的曲线积； 分号 定义在曲 LAB线 上
故 x d s x d s x d s 1 x d x 1 1 d y 3 .
L
OAAB 0
02
例
求 | y|ds, L
其中 L为右半单 . 位 y 圆 B(0,1)
解 由 ,L 题 :x 2 y 2 意 1 ,x 0 .
C(1,0)
由隐函数求导,法得
O
x
y x , y
将对弧长的为 曲定 线积 积分 分 , 积 计 化分 算下 时限 总小于积分上限.
2. 设曲L线 的方程为 x x ( y ) ,y [ c , d ] ,且 x ( y ) C 1 ( c , d [ ] ,则 )
f( x ,y ) d s d f( x ( y )y ) ,1 x 2 d y ( 2 ).
三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 弧微d分 s:
yf(x)
y
dy
dx dx2dy2ds2 当弧长的增变 加量 方 x的向 增与 加自 方向 , 一致 ds 1y2dx.
(1 ).曲 L 的 线方 y y (x ) 程 x , [a ,b 为 ];
ds 1y2 dx
(2 ).曲 L 的 线方 x x (y ) 程 y , [c ,d 为 ];
LAB
f(x,y)ds—被积表达；式 f (x, y)—被积函数；
ds— 弧长(元 弧素 微 )； 分 LAB—积分曲.线
如果积分曲线闭 为曲 一 L线 ,条 则封 积分记为
n
Lf(x,y)dsl i0im 1f(i, i) si.
对弧长的曲线积分的质 性
1. 对弧长的曲线 曲积 线分 的值 起与 点、 无终 关 : 点选
B(1,1)
d s1 y 2 d x 1 4 x 2 d x ,
O
故 x d s 1 x1 4 x 2 d x 1 ( 55 1 ).
L
0
12
A(1,0) x
2) LO A A,B
在 O 上 : y 0 , A d s d x ; 在 A 上 : x 1 B , d s d y ,
L
c
y d
xx(y) c
O
x
四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
设 L :x x ( t ) ,y y ( t ) ,t [,] ,
且 x ( t),y ( t) C 1 (,[],)则
ds x2(t)y2(t)dt,
L f( x ,y ) d s f( x ( t )y ( t , )x ) 2 ( t ) y 2 ( t ) d t (.3)
A i1
si A i
m if(i,i)si
n
m f(i, i)si i1
n
mlim 0i1
f(i,
i)si
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质
设函 f(x数 ,y)是定x义 y平在 面上的一 曲条 L 线 AB 可
上的.有 在 L A界 上 B 函 n 任 1 个 数 取 : 点
A A 0 A 1 A i 1 A i A n 1 A n B ,
其密 是 L 上 度点的 : 连 f(x,y)续 (x,y) 函 L . 数
求曲线L构 的件 质. 量
仿照质量非均 直匀 线分 构布 件的 的质 法:量计
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 .
y
B
将构件简化为数学中
具有质量的平面曲线.
A
Oa
bx
y AA1Ai1Ai An1B
Oa
bx
Mi(i,i)
注:意 取弧长的增变 加 t量 的 方增 向加 与方 自 . 向 化为定积,分积后分下限小于积. 分上限
例 计算 Lxds, 其中
1 )L 是 y x 2上由 O (0 ,0 )到 原 B (1 ,点 点 1 )的一 . 段
2 )L 是O 折 ,A 其 线 B A (1 ,中 0 ). y
解 1 )L :y x 2,x [0 ,1 ],而
A(0,1)
故d s1 y 2d xx 2y 2 y 2d x |1 y|d x.
ds 1x2 dy
( 3 ).曲 L 的 线 x 方 x ( t)y ,程 y ( t)t ,[ 为 ,];
ds x2(t)y2(t)dt
( 4 ) .R 3 中 的 曲 x 方 线 x ( t)y ,程 y ( t)z ,z ( t为 )t ,[,] .
ds x2(t)y2(t)z2(t)dt
将 L A分 B成 n个小 S i (i弧 1,2,段 ,n ), 每个小弧
记si为 ,并 记 m 1 i n {a si} .x 若 (i, i) Si, 极限
n
lim
0 i1
f(i,
i)si
存 ,且 在该极L 限 A的 B 值 分 与 (i,法 i)的 对 和 取 曲 点 , 法 线
f(x ,y )d s f(x ,y )d s.
L AB
L BA
2 . 如L ＝ 果 L 1L 2, L 1和 L 2是光, 滑 则曲线
f( x ,y ) d s f( x ,y ) d s f( x ,y ) d s .
L
L 1
L 2
3 .当 f(x ,y ) 1时 ,
Lf(x ,y )d s L d s s(s为L 曲 的).线 弧
第 四 节 对弧长的曲线积分
一. 对弧长的曲线积分的物理背景 二. 对弧长的曲线积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算 五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
设有一质量非的 均光 匀滑 分的 布平面L曲 , 线