勾股定理（毕达哥拉斯定理）及
各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期
发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2 + b2= c 2的正整数组（a, b, c）。
（3,4,5）就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方。
勾股定理
命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么”+b—
勾股定理的逆定理
命题2如果三角形的三边长a，b，c满足
= 3，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）
全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 V Rt △ DAH 今 Rt △ ABE, A ZHDA = ZEAB ・ ••• ZHAD + ZHAD = 90°, :. ZEAB + ZHAD =
【证法2】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别
以a 、b 为直角边（b>a ）,
以c 为斜边作四个
于冲
把这四个直角三角形拼成如图所示形状
.
90°,
为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼
成两个正方形•从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.
即，整理得宀F八
【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 >.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上•
•・• Rt △ EAD也Rt △ CBE,「・ / ADE = / BEC.
•・• / AED + / ADE = 90o,二 / AED + / BEC = 90o.二 / DEC = 180c—90o= 90o.
••• △ DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于
/ .又•・•/ DAE = 90o, / EBC = 90o,二
AD// BC.・・・"
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
...知卄++护宀沪"
■ ■
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角
边分别为3和4，那么斜边长为
多少呢？”伽菲尔德答到：“是
5
呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和乙那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为"总统。
” 证法。
【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C 作
CLL DE 交 AB 于点 M 交 DE 于点 L. I AF = AC ， AB = AD , / FAB = / GAD
・•・△ FAB 也△ GAD
•・• △ FAB 的面积等于F ,△ GAD
勺面 积等于矩形ADLM 勺面积的一
半， ・•・矩形ADLM 的面积=4同理可证， 的面积=沪. •・•正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+ 矩形MLEB 勺面积
.・• 沪，即 a -^=^.
【证法5】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt △ ABC 中，设直角边 AC BC 的长度 分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CDLAB 垂足是D.在△ ADC 和△ ACB 中,
•・• / ADC= / ACB= 90o , / CAD= / BAC 二△ ADC
s △ ACB.
・•・ AD ： AC = AC : AB 即M". n
/ 、 / n 、 F 1 D « ■矩形MLEB
同理可证，△ CDB s △ ACB
从而有血=砂AB . :./匸亠毗~（血>58）•府■苗，即卩
【证法6】（邹元治证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 >.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.
••• Rt △ HAE 望Rt △ EBF,「. /
AHE=
Z BEF.
••• Z AEH + Z AHE = 90o,二Z AE
+ Z BEF = 90o.
••• Z HEF = 180o—90o= 90o.
•••四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.
••• Rt △ GDH望Rt △ HAE,「. Z HGD = Z
EHA.
••• Z HG& Z GHD= 90o, • Z EHA+ Z GHD= 90o. 又••• Z GHE = 90o, • Z DHA = 90o+ 90o= 180o.
・•・ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于（-+*r.
A ...低詳7 ...宀
■ ■
【证法7】（利用切割线定理证明）
在Rt △ ABC中，设直角边BC= a,
AC=
b,斜边AB = c.
如图，以B为圆心a为半径作圆，
交AB及AB的延长线分别于 D E,贝V BD = BE = BC = a.
因为/ BCA = 90o,点C在OB 上,
所以AC是。
B的切线.由切割线定理，得
即鼻鼾二X.
【证法8】（作直角三角形的内
切圆证明）
在Rt △ ABC中,设直角边BC= a ,
AC= b，斜边AB= c.作Rt △ ABC
的内切圆O Q切点分别为D E、F （如图）,设OO的半径为r.
•・• AE = AF , BF = BD, CD = CE,
CS-I-GD = r + r = 2r,即盘十丹一匚一",• I仏上
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