圆周运动讲义【知识点】1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧的长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。

匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，虽然匀速圆周运动的速度大小不变，但它的速度的方向时刻在发生变化，所以匀速圆周运动不是匀速圆周运动，而是匀速率圆周运动。

2．线速度v①物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量；②定义：质点沿圆周运动通过的弧长s和所以时间t的比值叫做线速度③大小：v＝s/t，单位：m/s④矢量，它的方向是质点在圆周上某点沿圆周上的切线方向。

实际上就是该点的瞬时速度。

3．角速度ω①物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度ϕ跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度。

③大小：ω＝ϕ/t，单位：rad/s④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

4．周期T、频率f和转速n①周期T：在匀速圆周运动中，物体沿圆周转过一周所用的时间叫做匀速圆周运动的周期。

在国际单位制中，单位是秒（s）。

匀速圆周运动是一种周期性的运动。

②频率f：每秒钟完成圆周运动的转数。

在国际单位制中，单位是赫兹（Hz）。

③转速n：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的转数。

在国际单位制中，单位是转/秒（n/s）.匀速圆周运动的T、f和n均不变。

5．描述匀速圆周运动的物理量之间的关系①线速度和角速度间的关系如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间t内通过的弧长为s，半径转过的角度是ϕ，由数学知识知道s＝rϕ，于是有v＝s/t＝rϕ/t＝rω。

②线速度和周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为2π r，所以有v＝2π r/T。

③角速度和周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为2π，则有ω＝2π/T。

④周期和频率之间的关系由周期和频率的定义知：T＝1/f。

又由于以上关系，则ω＝2πf，v＝2π rf。

6.描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。

向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。

例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。

做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。

（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：22224TrmrmrvmFπω===其中r为圆运动半径。

（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。

（4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

【典型例题分析】【例1】如右图所示皮带传动装置，主动轴O1上有两上半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r'，已知R＝2r，R＝r′，设皮带不打滑，问:ωA∶ωB＝? ωB∶ωC＝? v A∶v B＝? v A∶v C＝?【例2】一把雨伞，圆形伞面的半径为r，伞面边缘距地面的高度为h。

以角速度ω 旋转这把雨伞，问伞面边缘上甩出去的水滴落在地面上形成的圆的半径R为多少？【例3】如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，Ａ的质量为2m，Ｂ、Ｃ质量均为m，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（）A. Ｃ物的向心加速度最大；B. Ｂ物的静摩擦力最小；C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。

【例4】长为L的细线，栓一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，摆线L与竖直方向的夹角为α。

求：（1）线的拉力F（2）小球运动的线速度的大小（3）小球运动的角速度及周期r m【例5】在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。

当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）A 、弹力增大，摩擦力也增大了B 、弹力增大，摩擦力减小了C 、弹力和摩擦力都减小了D 、物体所受弹力增大，摩擦力不变【例6】某辆汽车以速度为72km/h 通过凸形桥最高点，这时对桥的压力是车重的一半，则凸形桥圆弧形桥面的半径是多大？欲使该车通过桥最高点时对桥面的压力恰好为零，则此时的汽车的行驶速度应该是多大？（g 取10m/s 2）。

【例7】用长为L=0.6m 的绳子系着装有m=0.5kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”，求：①在最高点水不流出的最小速度为多少？ ②若过最高点时速度为3m/s ，此时水对桶底的压力为多大？【例8】如图所示，杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由 转动，已知在最高点处，杆对小球的弹力大小为F=mg/2， 求此时小球的瞬时速度大小。

【例9】、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ．g mr m M + B ．g mr mM + C ．g mr m M - D ．mrMg【例10】m ＝1kg ，r ＝5cm ，ω＝10rad/s ，最大静摩擦力3N ，物体在该处能否处于相对静止状态？在该处处于静止的最大ω是多大？Aω【例11】如图所示，细绳一端系着质量m=0．1 kg的小物块A，置于光滑水平台面上;另一端通过光滑小孔O与质量M=0．5 kg的物体B相连，B静止于水平地面上．当A以O为圆心做半径r =0．2m的匀速圆周运动时，地面对B的支持力F N=3．0N，求物块A的速度和角速度的大小．(g=10m/s2)【例12】如图所示，一个人用一根长1m，只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1㎏的小球，在竖直平面内作圆周运动，已知圆心O离地面h=6m。

转动中小球在最底点时绳子断了，（1）绳子断时小球运动的角速度多大？（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离。

【例13】如图所示，质量为m的小球以速度V冲上放在竖直平面内的光滑园轨道，刚好能够到达轨道的顶部，如图所示，求小球飞离轨道顶部后落地点距离圆心O的水平距离设轨道的半径为r。

【例14】如下图所示，ABC 为一细圆管构成的43园轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑。

在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动。

已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力。

（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时的速度大小和轨道对小球的支持力大小；（2）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球刚开始下落时离A点的高度为多大。

OABCR（例4）【课后习题】1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:=c A R R ，3:2:=B A R R 。

假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。

2、图3-7中圆弧轨道AB 是在竖直平面内的1/4圆周，在B 点，轨道的切线是水平的。

一质点自A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为______，刚滑过B 点时的加速度大小为_____。

3、如图所示，质量为m=0.2㎏的小球固定在长为L=0.9m 的轻杆一端，杆可绕O 点的水平转轴在竖直平面内转动。

g=10m/s2，求：（1）当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？（2）当小球在最高点的速度分别为6m/s 和1.5m/s 时，球对杆的作用力的大小与方向？ （3）小球在最高点的速度能否等于零？这时球对杆的作用力的大小与方向？4、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。

则下列说法正确的是 （ ） A ．球A 的线速度必定大于球B 的线速度 B ．球A 的角速度必定小于球B 的角速度 C ．球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期 D ．球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力5、如图3－14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。

一光滑小球从开口A 处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。

则下述说法正确的是（ ）A.球在最高点时对管的作用力为零B.小球在最高点时对管的作用力为mgC.若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大图3-7AB图3－4图13图3-14 vAOD.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大6、 如图3－13所示，半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体A 。

今给它一个水平初速度gR v 0，则物体将（ ）A.沿球面下滑至M 点B.沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动C.立即离开半球面做平抛运动D.以上说法都不正确7、如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半。

内壁上有一质量为m 的小物块。

求 ①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

8、 如图所示，AC 、BC 两绳长度不等，一质量为m=0.1kg 的小球被两绳拴住在水平面内做匀速圆周运动。

已知AC 绳长L=2m ，两绳都拉直时，两绳与竖直方向的夹角分别为30°和45°。

问：小球的角速度在什么范围内两绳均拉紧？当w =3rad/s 时，上下两绳拉力分别为多少？9、如图，已知汽车的质量是5t,当汽车通过半径是50m 的拱桥顶点的速度为10m/s 时，车对桥顶的压力是多少？图3-13MmR v 0图10O ′RH H/2A10、有一辆质量为1.2 t 的小汽车驶上半径为50 m 的圆弧形拱桥，如图5所示。

求： （1）汽车到达桥顶的速度为10m/s 时对桥的压力有多大？（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？（3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度g 取10 m/s 2，地球半径R 取6104.6 m)11、如图所示，在水平转台上放有A 、B 两个小物块，它们距离轴心O 分别为r A =0.2m ，r B =0.3m ，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，g 取10 m/s 2，（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。