双曲线【考纲要求】1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程；2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握双曲线的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】考点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长2a （21212F F a PF PF <=-）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：（1）双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；（2）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则此时的曲线是双曲线的靠2F 的一支；（3）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则此时的曲线是两条射线； （4）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则此时的曲线不存在. 考点二、双曲线的标准方程（1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+；（2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+.要点诠释：（1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准双曲线数形结合思想标准方程及简单性质 双曲线的实际背景及定义方程；（2）在双曲线的两种标准方程中，都有222c a b =+；（3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当2x 的系数为正时，焦点在x 轴上，双曲线的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -； 当2y 的系数为正时，焦点在y 轴上，双曲线的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -. 考点三、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的简单几何性质（1）范围：{}x x a x a ≤-≥或，y R ∈；（2）焦点)0(，c ±，顶点(0)a ±，，实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距＝2c ； （3）离心率是1ce a=>； （4）渐近线：x ab y ±=. 双曲线22221y x a b-=)0(>>b a 的简单几何性质（1）范围：{}y y a y a ≤-≥或，x R ∈；（2）焦点(0,)c ±，顶点(0,)a ±，，实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距＝2c ； （3）离心率是1ce a=>； （4）渐近线：a y x b=±. 考点四、有关双曲线的渐近线的问题 （1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x 0=±b y a x ⇒x aby ±=（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x（3）若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）（4）特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y x =±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x .考点五、双曲线图像中线段的几何特征：双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的图像如图所示：（1）实轴长122A A a =，虚轴长2b ,焦距122F F c =，（2）离心率：2121122212112211PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>；（3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来. 【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程例1. 求与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且过点(15,4)的双曲线的标准方程。

【解析】依题意设双曲线方程为22221y x a b-=由已知得2229a b c +==， 又双曲线过点15,4)，∴2216151a b -= ∴22222294161515a b a b a b⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎩⎪⎩ 故所求双曲线的方程为22145y x -=. 【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定a 、b .举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点(8,63)M . （2）虚轴长与实轴长的比为3:4，焦距为10. 【解析】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=,故设双曲线方程为2249x y λ-=， ∵点(8,63)M 在双曲线上，∴228(63)49λ-=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=. （2）由已知设4a k =, 3b k =,则5c k =(0k >) 依题意21010c k ==，解得1k =.∴双曲线方程为221169x y -=或221169y x -=. 类型二：双曲线的焦点三角形例2.中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点1F 和2F ，且12||213F F =长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比3:7.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求12F PF ∠的余弦值. 【解析】（1）设椭圆方程为22221x y a b +=(0a b >>)，双曲线方程22221x y A B-=，则⎪⎩⎪⎨⎧==-.7:3:,4Ac a c A a ，解得⎩⎨⎧==.3,7A a∵13c =,∴22236b a c =-= , 2224B c A =-=.故所求椭圆方程为2214936x y +=，双曲线方程为22194x y -=. （2）由对称性不妨设交点P 在第一象限.设11||PF V =、22||PF V =. 由椭圆、双曲线的定义有:⎩⎨⎧=-=+.6,142121V V V V 解得 ⎩⎨⎧==.4,1021V V 由余弦定理有222121212(2)4cos 25V V c F PF VV +-∠==.举一反三：【变式1】设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．63B ．12C ．123D ．24【解析】依据双曲线的定义有12||||22PF PF a -==， 由12||:||3:2PF PF =得1||6PF =、2||4PF =，又2212||(2)41352F F c ==⨯=，则120F PF ∠=cos ，即12F P PF ⊥，所以1212PF F =△S ，故选B. 例3（2015 南昌三模）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：x +2y +5=0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=1【答案】A 【解析】∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l 上，∴，解得a=2，b=， ∴双曲线方程为﹣=1．故选A ．举一反三：【变式1】（2015春 湖北期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点A （，2）的双曲线的方程为（ ） A ．B ．2x 2﹣=1C ．2211827y x D ．【答案】C【解析】由题意设所求的双曲线的方程为=λ，因为经过点A （，2），所以=λ，即λ=﹣9，代入方程化简得2211827y x ，故选C ． 【变式2】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C例4．已知双曲线的方程是22169144x y -=. （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设1F 和2F 是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且12||||32PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小【解析】（1）由22169144x y -=得221916x y -=， ∴3a =，4b =，5c =.焦点1(5,0)F -、2(5,0)F ，离心率53e =，渐近线方程为43y x =±.（2）12||||||26PF PF a -==，∴22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=2212121212(||||)2||||||2||||PF PF PF PF F F PF PF -+-=3664100064+-==∴01290F PF ∠=举一反三【变式1】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______。

【答案】90【变式2】已知双曲线2212416x y -=，P 为双曲线上一点，12F F 、是双曲线的两个焦点，并且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。

【答案】类型三：离心率【高清课堂：双曲线及其性质404777 例1】例5.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为________．【解析】双曲线22214x y m m -=+中，222,4a m b m ==+且0m > 所以224c m m =++则222245c m m e a m++=== 解得2m =举一反三：【变式1】已知双曲线22a x -22by =1与x 轴正半轴交于A 点，F 是它的左焦点，设B 点坐标为(0,b)，且AB ⊥BF ，则双曲线的离心率为（ ）A 、231+B 、251+C 、462+D 、452+【答案】B【变式2】 若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为_______例6. 已知21,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,求双曲线的离心率。