第6章 光的衍射1、由于衍射效应的限制，人眼能分辨某汽车的两前灯时，人离汽车的最远距离为多少？（假定两车灯相距1.22m ） 答案：汽车的两前灯相当于远处的两个点光源，人眼的成像作用可以等价于一个单凸透镜，人眼的瞳孔相当于衍射圆孔，当两点光源（前灯）在人眼视网膜上的衍射像（艾里斑）满足瑞利判据时，恰能分辨。

一般情况下，瞳孔直径为2D mm =，波长取550nm λ=，则角分辨率为405501.221.22 3.4102nmrad Dmmλθ-==⨯≈⨯ 人离汽车的最远距离为()023.636tan 2d L km θ=≈2、显微镜（1）用紫外光（275nm λ=）照明比用可见光（550nm λ=）照明的分辨本领约大多少倍？（2）它的物镜在空气中的数值孔径为0.9，用紫外光照明时能分辨的两条线之间的距离是多少？（3）用油浸系统（ 1.6n =）时，这最小距离又是多少？ 答案：（1）、用紫色光（1275nm λ=）照明时的最小分辨距离为110.61NAλε=用可见光（2550nm λ=）照明时的最小分辨距离为220.61NAλε= 因为22112ελελ==所以显微镜用紫外光（275nm λ=）照明的分辨本领为用可见光（550nm λ=）照明的分辨本领的2倍（提高1倍）。

（2）、0.610.612750.18640.9nmm NA λεμ⨯==≈ （3）、用油浸系统（ 1.6n =）时，物镜在油中的数值孔径为 1.60.9 1.44NA =⨯=0.610.612750.11651.44nm m NA λεμ⨯==≈3、一照相物镜的相对孔径为1:3.5，用546nm λ=的汞绿光照明。

问用分辨率为500线/mm 的底片来记录物镜的像是否合适？ 答案：1114291.22 1.22546 3.5线D N mm f nm λ==⨯≈⨯所以用分辨本领为500线/mm 的底片来记录物镜的像合适。

4、在双缝夫朗和费衍射实验中，所用波长632.8nm λ=，透镜焦距50f cm =观察到两相邻亮条纹之间的距离 1.5e mm =，并且第4级亮纹缺级。

试求： （1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮纹的相对强度。

答案： （1）、因为e fdλ=，所以缝距632.8500.211.5nmd fcm mm emmλ==⨯≈第4级亮纹缺级，所以4d a=，即缝宽0.05254da mm ==（2）、缝数为2N =，所以双缝衍射的光强分布为222222000220sin2sin cos sin sin sin sin 222sin sin sin 222sin 4cos 2N I I I I I δδδααδαδδδααααδα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11sin sin 28ka kd αθθ==、sin kd δθ= 对于第一级亮纹有sin d θλ=，则sin 2kd δθπ==，4απ=，所以第一级亮纹的光强为22100sin 244cos 3.2424I I I πππ⎛⎫ ⎪=≈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭对于第二级亮纹有sin 2d θλ=，则sin 4kd δθπ==，2απ=，所以第二级亮纹的光强为22200sin 424cos 1.6222I I I πππ⎛⎫ ⎪=≈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭对于第三级亮纹有sin 3d θλ=，则sin 6kd δθπ==，34απ=，所以第三级亮纹的光强为223003sin 644cos0.36324I I I πππ⎛⎫ ⎪=≈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭而对于零级亮纹有'04I I =，所以第1、2、3级亮纹相对于零级亮纹的强度分别为0.81、0.41、0.09。

5、有一多缝衍射屏如图所示，总缝数为2N ，缝宽为a ，缝间不透明部分的宽度依次为a 和3a 。

试求正入射情况下，遮住偶数缝和全开放时的夫朗和费衍射强度分布公式。

答案：遮住偶数缝时，相当于6d a =的N 条缝夫琅禾费多缝衍射sin a πθαλ=，2sin sin 1212a d ππθδθαλλ=== 其强度分布公式为()()222200sin sin 6sin sin 2sin 6sin2N N I I I δαααδααα⎛⎫⎡⎤ ⎪⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭全开放时，相当于有两套6d a =的N 条缝夫琅禾费多缝衍射，这两套衍射会产生干涉，相位差'2sin 2sin 44a a ππθδθαλλ===，所以其强度分布公式还必须在单套夫琅禾费多缝衍射强度分布公式基础上再乘上一个双缝干涉因子（'2N =），即()()()222'''''''2'''2220sin 2sin cossin 2224cos 2sin sin sin 222sin 6sin 4cos 2sin 6N I I I I I N I δδδδδδδδααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦6、一平行单色光垂直入射到光栅上，在满足sin 3d θλ=时，经光栅相邻两缝沿θ方向衍射的两束光的光程差是多少？经第1缝和第n 缝衍射的两束光的光程差又是多少？这时通过任意两缝的光叠加是否都会加强？ 答案：经光栅相邻两缝沿θ方向衍射的两束光的光程差为3λ。

经第1缝和第n 缝衍射的两束光的光程差为()31n λ-。

通过任意两缝的光叠加，光程差为λ的整数倍，即相位差为2π的整数倍，所以都会加强。

7、在透射光栅上刻多少条线才能使它分辨第一级光谱中的钠双线（589.592nm 和588.995nm ）。

答案：588.995589.592589.29352nm nmnm λ+==589.592588.9950.597nm nm nm λ∆=-= 1m = 则由mN λλ=∆可以得到最少的光栅刻线数为 589.2935987.090.597nmN m nmλλ==≈∆所以至少要刻988条线。

8、一闪耀光栅刻线数为100条/mm ，用600nm λ=的单色平行光垂直入射到光栅平面，若第2级光谱闪耀，闪耀角应为多大？ 答案：10.01100mmd mm == 平行光垂直入射到光栅平面，闪耀条件为()sin 2d m γλ= 所以闪耀角计算如下'112600arcsin arcsin 3.4461327220.01m nm d mm λγ⨯⎛⎫⎛⎫==≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9、求如图所示衍射屏的夫朗和费衍射图样的强度分布。

设衍射屏由单位振幅的单色平面波垂直照明。

答案：单个矩形孔衍射光场可以用以下夫朗和费衍射公式进行计算()()22112111,ikikz x y z e x y E x y eF rect rect i z a b λ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦式中F 表示傅里叶变换，rect 为分段函数，定义为()112012t rect t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩所以有()()()2211111122112222112212111,sinc sinc iky x ikz xy i y i x b b z z z b b ikikz x y z e E x y eedy edx i z eax by e a b i z z z ππλλλλλλ+----+=⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰因此，单个矩形孔衍射光强分布如下()()()2*221111,,,sinc sinc ab ax by I x y E x y E x y z z z λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭多个周期性排列矩形孔的衍射光强只需要将单个矩形孔衍射光强乘上干涉因子即可，如下()()21sin 2,,sin 2N N I x y I x y δδ⎛⎫⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1222sin tan x x x d d d z πππδθθλλλ=≈=因此，双矩形孔（2N =）的衍射光强分布为()()()()22221112222111222211112sin cos sin 22,,,4,cos 2sin sin 224sinc sinc cos 22sinc sinc cos I x y I x y I x y I x y ab ax by z z z ab ax by dx z z z z δδδδδδδλλλπλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。