同理可证： t H ta
15
点、面对应关系
转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端
：工程力学
16
例题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
解：s x 100 MPa t x 60 MPa s y 50 MPa a 30
sm
sx
s y
2
sx
s y cos2a
由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa

sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
ta

sx
s y
2
sin2a
t xcos2a
上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适
用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
：工程力学
12
应力圆
0


s
x
tx s
min


s
tx max s
y
smax与smin所在截面正交
s 极值与t 极值所在截
面, 成 45夹角
：工程力学
22
主平面与主应力
s2
s1 s3
主平面－切应力为零的截面
相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体
主应力－主平面上的正应力
主应力符号与规定－ s1 s 2 s 3（按代数值）
2. 由应力圆求 s m 与t m
由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
：工程力学
s m 115 MPa t m 35 MPa
19
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
：工程力学
20
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
s max s min


OC

CA

s
x
2
s
y

s

x
2
s
y
2

t
2 x
t max t min


CK

s

x
2
s
y
2
t
2 x
：工程力学
21
极值应力方位
最大正应力方位：
tan2a
0


s
2t x x s
y
tana
14
图解法求斜截面应力
s H OC CD cos(2a0 2a )
s H OC CD cos2a0cos2a CD sin2a0sin2a
sH

s
x
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
sa
sa

sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
：工程力学
应力圆原理
sa
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
ta
sx
s
2
y
sin2a
t xcos2a
sa
பைடு நூலகம்
sx
s
2
y

sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
ta
0

s
x
s
2
y
sin2a
t xcos2a
应力圆
圆心位于s 轴
s a

s
x
2
s
y
2

ta

02
(t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0
sa s xcos2a s ysin2a (t x t y )sina cosa
ta (s x s y )sina cosa t xcos2a t ysin2a
：工程力学
11
sa s xcos2a s ysin2a (t x t y )sina cosa ta (s x s y )sina cosa t xcos2a t ysin2a
：工程力学
10
斜截面应力公式
Fn 0， sadA (t xdAcosa )sina (s xdAcosa )cosa
(t ydAsina )cosa (s ydAsina )sina 0 Ft 0， tadA (t xdAcosa )cosa (s xdAcosa )sina
2
t xsin2a
114.5 MPa
：工程力学
t
m

s
x
2
s
y
sin2a
t
xcos2a

35.0 MPa
17
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
：工程力学
s m 115 MPa t m 35 MPa
18
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 A点对应截面 x, B点对应截面 y

s
x
s
2
y
2
t
2 x
：工程力学
sC

sx
s
2
y
R
s
x
s
2
y
2
t
2 x
13
应力圆的绘制
问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆
根据：
sC
sx
s y
2
R
s

x
s
2
y
2
t
2 x
满足上述二条件 确为所求应力圆
：工程力学
第 13 章 应力状态分析
本章主要研究：
应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介
：工程力学
1
§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 复合材料应力应变关系简介
：工程力学
2
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
：工程力学
3
实例
：工程力学
微体A
4
：工程力学
微体abcd
5
：工程力学
微体A
6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态
：工程力学
23
应力状态分类
单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
：工程力学
8
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
：工程力学
9
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正
问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系
研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础
：工程力学
7
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
平面应力状态 的一般形式
微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态
空间应力状态一般形式