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观察：两者有什么 关系？
讲授新课
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
2
4
4
1 3
2
1 3
2
2
2
0 2 0
2 是2的算术平方 根，根据算术平方
根的意义， 2 是 一个平方等于2的非 负数.
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
归纳总结 ( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2＝a (a ≥0).
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
问题1 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，它们表示一些
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正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0.
问题2 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，分别从形式上
4 0 1 -1 1 4
0、1、1 4
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？
a≥0
a→ a→( a )2
a为任 意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
一 ( a )2（a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
典例精析 例1 计算：
(1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2.
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方： （ab）2=a2b2
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
二 二次根式的双重非负性 思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
二次根式的 双重非负性
例3（1）若 a 2 b 3 (c 4)2 0，求a -b+c的值.
（2）设 y 1 x+ x 1+2016，试求x+2y的值.
当）
a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是
（A）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.若 95 n 是整数，则自然数n的值有 （ D ）
A.7个 B.8个 C.9个
D.10个
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
见《学练优》本课时练习
新人教版八年级数学下册教学课件
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第2课时 二次根式的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的两个性质.（重点）
情境引入
2.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
导入新课
数算字一旅算行：
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
新人教版八年级下册数学
全册教学课件
新人教版八年级数学下册教学课件
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点）
导入新课
想一想
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形， 其面积为3，则它的边长是 3 .
如果其面积为S，则它的边长是 S .
（2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则 它的宽为 65 m.
想一想
（3）一个物体从高处自由落下，落到
地面所用的时间t(单位：s)与开始落下
时离地面的高度h（单位：m)满足关系
式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t
h
为 5.
A
D
x 3 x 24 2
解得 x 16 4（负值舍去）.
B
C
所以宽为4cm，长为6cm.
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义条件下求 二次根式 字母的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
二次根式的 双重非负性
二次根式 a 中，a≥0且 a ≥0
课后作业
解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016, 所以x+2y=1+2×2016=4033.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初 中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
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和被开方数上看有什么共同特点？
①含有“ ”
②被开方数a ≥0
归纳总结 二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式吗?不含二次根号
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
（2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值. 当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义；
当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
不是
根指数是3
非负数+正数 恒大于零
例2 (1)当x取何值时, x 2在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0，a 1. (2) 2a 3 0，a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0，a 0. (4) 5 a＞0，a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2， 它的长、宽各应是多少？
解：设长方形的宽为xcm,根据得意得