第四章 三角函数
第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式
题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无
题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无
题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无
题型45 三角函数定义题——暂无
题型46 三角函数线及其应用——暂无
题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无
题型48 诱导求值与变形——暂无
题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无
第二节 三角函数的图像与性质
题型50 已知解析式确定函数性质
1.（2017全国3理6）设函数，则下列结论错误的是（ ）.
A ．的一个周期为
B ．的图像关于直线对称
C ．的一个零点为
D ．在上单调递减
解析 函数的图像可由向左平移个单位长度得到，由图可知，在上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.
题型51 根据条件确定解析式
1.（2017天津理7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）.
A.，
B.，
C.，
D.，
解析 解法一：由题意，其中，所以.又，所以，从而.由，由，得.故选A ．
解法二：由，，易知为的一条对称轴，点为的一个零点，则，又因为 ，即.又，且的最小正周期大于，所以，从而，又，所以.故选A.
2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .
（1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
解析 （1）由2
sin 3π=21cos 32π=-，得2
22112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
（2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭
，
所以()f x 的最小正周期是2π2T
==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k π
ππ+π+
+π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63
k k k π
π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，. 题型52 三角函数的值域（最值)——暂无
题型53 三角函数图像变换
1.（2017全国1理9）已知曲线，，
则下面结论正确的是（ ）.
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
解析 ，.
首先曲线，统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．
．横坐标变换需将变成，
即．
注意的系数，左右平移需将提到括号外面，这时平移至，
根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D.
2.（2017山东理1）设函数，其中.已知.
（1）求；
（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值.
解析 （1）因为，
所以
.
由题设知，所以，.
故，，又，所以.
（2）由（1）得，所以.
因为，所以，当，即时，取得最小值.
第三节 三角恒等变换
题型54 化简求值
1.（17江苏05）若，则 ．
解析 解法一（角的关系）：．故填．
解法二（直接化简）：，所以．故填．
2.(2017北京理12)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，=___________.
解析 由题作出图形，如图所示，，则，由于与关于轴对称，
则，，故.
3.（2017全国2理14）函数的最大值是 ．
解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，，令且，，当，即时，取最大值为1．
4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .
（1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
解析 （1）由2
sin 3π=21cos 32π=-，得2
22112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
（2）由22
cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T
==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k π
ππ+π+
+π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63
k k k π
π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，. 第四节 解三角形
题型55 正弦定理的应用
1.（2017天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
解析 （1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.
由正弦定理，得.
（2）由（Ⅰ）及，得，所以，
，故.
2.（2017山东理9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）.
A. B. C. D.
解析因为，所以，又，得，即.故选A.
题型56 余弦定理的应用
题型57 判断三角形的形状——暂无
题型58 解三角形的综合应用
1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和．分别在容器和容器中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.
（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．
解析（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为，过点作，为垂足，则平面，故，从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为．
（2）如图所示为截面的平面图形，，是正棱台两底面的中心．
由正棱台的定义，平面，所以平面平面，．
同理，平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处．
过作，为垂足，则．
因为，，所以，
从而．
设，，则．
因为，所以．
在中，由正弦定理可得，解得．
因为，所以，
于是
．
记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，
故，从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为．
评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．
也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：
，，所以，，
所以由，，即，解得．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为．
2.(2017北京理15)在中，，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
解析（1）在中，因为，，
所以由正弦定理得.
（2）因为，所以.由余弦定理，得，
解得或（舍）.所以的面积.
3.（2017全国1理17）ABC
△的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.
（1）求的值；
（2）若，，求的周长.
分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.
解析（1）因为的面积且，所以，即.
由正弦定理得，由，得.
（2）由（1）得，又，因为，
所以.
又因为，所以，，.
由余弦定理得①
由正弦定理得，，所以②
由①，②，得，所以，即周长为.
4.（2017全国2理17）的内角的对边分别为，已知．
(1)求;
(2)若，的面积为2，求
解析（1）依题得．
因为，所以，所以，得（舍去）或.
（2）由⑴可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而， 即，解得．
5.（2017全国3理17）的内角的对边分别为 ，已知，，．
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
解析 （1）由，得，即，
又，所以，得.由余弦定理得.
又因为代入并整理得，解得.
（2）因为，由余弦定理得.
因为，即为直角三角形，则，得.
从而点为的中点，.
6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.?点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________.
解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以
AO =
sin sin CBD OBA ??，
所以BDC △的面积为1sin 2
2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πCBD BDC
??，21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC ?-?-?-，解得
cos BDC ?。