§6.4 平面曲线的弧长
一、直角坐标情形
设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。

取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一
小区间所对应的曲线弧段的长度
可以用它的弧微分来近似。

于是，弧长元素为
弧长为
【例1】计算曲线的弧长。

解：
二、参数方程的情形
若曲线由参数方程 f x ()[,]a b y f x =()
s x x a b ∈[,][,]a b [,]x x dx +Δs ds []dx x f ds 2
)(1′+=[]s f x dx a b
=+′∫12
()y x a x b =
≤≤2332()
ds x dx xdx =+=+112()s xdx x b a a
b a b =+∫=+=+−+12312311323232()[()()]
给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成
的形式，从而有
【例2】计算半径为的圆周长度。

解：圆的参数方程为
三、极坐标情形
若曲线由极坐标方程
给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。

曲线的参数方程为
此时变成了参数，且弧长元素为
从而有 x t y t t ==⎧⎨⎩≤≤ϕφαβ()()()[][]ds dx dy t t dt =
+=′+′()()()()2222ϕφ[][]s t t dt =′+′∫ϕφαβ()()22r x r t y r t t ==⎧⎨⎩≤≤cos sin ()02πds r t r t dt rdt =
−+=(sin )(cos )22s rdt r =∫=022π
πr r =≤≤()()θαθβx r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()
θθθθαθβθθ
θθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 222
2222
2)()cos sin ()()sin cos ()()(′+=+′+−′=+=s r r d =+′∫22θ
αβ
【例3】计算心脏线的弧长。

解：
r a =+≤≤(cos )()102θθπds a a d =++−2221(cos )(sin )θθθ=
+42222422a d [cos sin cos ]θθ
θθ
=22a d cos
θθa
d d a d a d a s 8]
cos cos [4cos 42cos
22
20020=−+===∫∫∫∫ππ
π
ππ
ϕϕϕϕϕϕθθ。