函数性质应用（讲义）
➢知识点睛
一、函数的单调性
确定函数单调性的常用方法：
（1）定义法：先求出函数的定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
（2）图象法：若函数是以图象形式给出的，或可以作出函数图象，可由图象的升、降得出它的单调性或单调区间．
（3）转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增+增得增”、“减-增得减”、“同增异减”等，求得函数的单调性或单调区间．
注：
（1）确定函数单调性，优先确定定义域；
（2）利用定义证明单调性，注意取值的任意性．
二、函数奇偶性判断的步骤
三、函数单调性与奇偶性的常用结论
1.若()
f x是奇函数，且在原点处有定义，则f (0)=0．
2.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3.若()
f x是奇函数，则()
f x是
f x在关于原点对称的区间上单调性相同；若()
偶函数，则()
f x在关于原点对称的区间上单调性相反．
➢精讲精练
1. 函数|4||3|
y x x =++-是（ ） A ． 奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
2. 已知函数(4)0()(4)0x x x f x x x x +⎧=⎨-<⎩
≥（）（），则()f x 是（ ） A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
3. 若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意12x x ∈R ，，有
1212()()()1f x x f x f x +=++，下列说法一定正确的是（ ） A ．)(x f 是奇函数
B ．)(x f 是偶函数
C ．()f x +1是奇函数
D ．()f x +1是偶函数
4. 已知函数f (x )在R 上是增函数，若F (x )=f (x )- f (-x )，则（ ） A ．F (x )在R 上为增函数
B ．F (x )在R 上的增减性不定
C ．F (x )在R 上为减函数
D ．F (x )在R 上为常值函数
5. 已知函数()f x 的定义域为(3-2a ，a +1)，且(1)f x +是偶函数，则实数a 的值
是（ ）
A ．23
B ．4
C ．2
D ．6
6. 若函数2()||f x ax b x c =++（0a ≠）有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足
（ ）
A ．2400b ac a ->>，
B ．240b ac ->
C ．02b a -
> D ．02b a
-<
7. 已知函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2，
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，若(12)(2)f a f a +>--，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． (1)-∞-，
B ．(01)，
C ．(1)-+∞，
D ．(10)-，
8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)，+∞上单调递减，且
(2)(1)0f a f a -+-<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(2]2
， B ．3()2，+∞ C ．3[1)2， D ．3()2
，-∞
9. 若函数0()210x a x f x ax a x +⎧=⎨+-<⎩
≥（）（）在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．
10. 若函数221()1x ax x f x ax x x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤（）（）
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a >-2
B ．-2<a <2
C ．a ≤-2
D ．12a -≤
11. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
2221()(|||2|3)2
f x x a x a a =-+--．若(1)()x f x f x ∀∈-R ≤，，则实数a 的取值范围为（ ）
12. 已知定义在R 上的函数()y f x =满足(0)0f ≠，当0x >时，
()1f x >，且对任意的a b ∈R ，
，都有()()()f a b f a f b +=⋅． （1）求证：(0)1f =；
（2）求证：对任意的x ∈R ，有()0f x >；
（3）求证：()f x 在R 上是增函数；
（4）若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．
13. 已知函数()f x 是增函数，定义域为(0)+∞，，且(4)2f =，()()()f xy f x f y =+，
求满足()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围．
14. 已知函数2211()a f x a a x
+=-，常数a >0． （1）设0m n ⋅>，证明：函数()f x 在[]m n ，
上单调递增； （2）设0<m <n ，且()f x 的定义域和值域都是[]m n ，
，求n -m 的最大值．
【参考答案】
1. B
2. B
3. C
4. A
5. C
6. C
7. A
8. D
9.(01]，
10.C
11.B
12.（1）略；（2）略；（3）略；（4）03
<<
x 13.34
<≤
x
14.（1）略；（2）
3。