与该时刻之前的输出无关 。
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
5.3.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
第5章 离散信号与系统分析
引言 离散时间信号 离散系统的数学模型 离散系统的零输入响应 离散系统的零状态响应
5.1 引言
除连续系统外，还有一类用于传输和处理离 散时间信号的系统，称之为离散时间系统。
离散系统有时域、频域和z域分析法，本章 主要讨论离散系统的时域分析法。对于离散信号 和系统的分析，在许多方面都与连续信号与系统 的分析类似。我们在讨论离散时间系统的分析时， 可以把它与我们熟悉的连续时间系统相对比以便 与理解，但也要注意两者之间的差别。
（5）求和 把
和 相乘所得的序列相加
例5.5.1 已知两序列
求它们的卷积和。
解： 和
的波形
则
时 于是
列表法计算卷积和 由表可得
直接按定义计算卷积和
例5.5.2 求序列 的卷积和。
解：
和序列
根据等比数列求和关系式，可知
5.5.2离散时间系统的单位序列响应
单位序列响应的定义
离散时间系统对单位序列 的零状态响应称为系 统的单位序列响应，记为 。
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
5.4 离散系统的零输入响应
线性时不变离散系统的完全响应由零输入响应和零 状态响应两部分组成。在对离散系统进行时域分析时，可 以根据系统的差分方程分别求出由起始条件引起的零输入
响应和由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应。
零输入响应的定义
对于离散系统，若在
时系统的输入为零，即
。由系统的起始状态所引起的响应称为
时
的零输入响应，用
表示
零输入响应的求解
在离散系统的差分方程中，令输入信号为零，得
离散系统的零输入响应就是上面的齐次差分方程 满足给定初始条件时的解
对应的算子方程为
离散系统的零输入响应的计算步骤
（1）求出系统传输算子的极点
令 对上式所示的特征方程进行求解，即可得到系统
5.5.1 离散信号的时域分解和卷积和
离散时间信号的时域分解公式
卷积和
定义:
运算规律： （1）交换律 （2）分配律
（3）结合律
图解法计算步骤
（1）换元 将和
（2）折叠
中的变量k换为i，并分别画出图形
画出 相对于纵轴的镜像
（3）移位 将
的图形沿横轴平移k，得到
的图形
（4）相乘
将移位后的序列
和 相乘
5.3 离散系统的数学模型
5.3.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某一时刻的输出只与输入有关，而
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
5.2.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
后向差分
前向差分
6．序列的累加和
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
5.2.2 常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
传输算子的极点 ，分为单极点和重极点两种情况。 （2）写出各极点对应的零输入响应的分量表示式
单极点
d重极点
（3）求出n个初始条件
（4）由初始条件确程为
及初始条件
求该系统的零输入响应。 解：令 即 传输算子的极点为
各极点对应的零输入响应项为
系统的零输入响应为
求系统单位序列响应的步骤
余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压
的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
令
代入初始条件后得到
求得 系统的零输入响应为
例5.4.2 离散系统的差分方程为
其中输入
，初始条件为
求系统的零输入响应。 解：齐次差分方程
对应的算子方程为
令 即 得到传输算子的极点为
系统的零输入响应为
将
代入系统的差分方程，可得
将已知的初始条件代入以上两式，得到
求得 将零输入初始条件代入零输入响应的表达式
解得 所以，系统的零输入响应为
5.5 离散系统的零状态响应
零状态响应 如果离散系统的起始状态为零，由系统外
加激励信号所产生的响应 ，用
表示
在求离散系统的零状态响应时，我们首先把激励信 号分解为一系列加权的冲击信号。然后将每一个冲击信 号作用于系统，系统输出一个与之相应的响应，每一个 响应也均是一个离散序列，再将这些相应序列叠加起来， 就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加过 程表现为求卷积和。
5.2 离散时间信号
5.2.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为