平抛运动小结（一）平抛运动的基础知识1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。

2. 特点：（1）平抛运动是一个同时经历水平向的匀速直线运动和竖直向的自由落体运动的合运动。

（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为c bx ax y ++=2。

（3）平抛运动在竖直向上是自由落体运动，加速度g a =恒定，所以竖直向上在相等的时间相邻的位移的高度之比为5:3:1::321=s s s …竖直向上在相等的时间相邻的位移之差是一个恒量2gT s s s s I II II III =-=-。

（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平向之间的夹角为ϕ）向和位移向（与水平向之间的夹角是θ）是不相同的，其关系式θϕtan 2tan =（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。

3. 平抛运动的规律描绘平抛运动的物理量有0v 、y v 、v 、x 、y 、s 、ϕ、t ，已知这八个物理量中的任意两个，（二）平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。

本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。

1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的法，就应该是从竖直向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平向做匀速直线运动，求出速度。

[例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A 处越过m x 5=的壕沟，沟面对面比A 处低m h 25.1=，摩托车的速度至少要有多大？在水平向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为s m s m t x v /10/5.050===2. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。

[例2] 如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为︒30的斜面上。

可知物体完成这段飞行的时间是（ ）A.s 33解析：0x t y 水平面垂直，所以t v 与y v 间的夹角等于斜面的倾角θ。

再根据平抛运动的分解可知物体在竖直向做自由落体运动，那么我们根据y v gt =就可以求出时间t 了。

则yxv v =θtan 所以s m s m v v v x y /38.9/318.930tan tan 0==︒==θ，根据平抛运动竖直向是自由落体运动可以写出：gt v y =，所以s gv t y 38.938.9===，所以答案为C 。

3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平向和竖直向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种法，暂且叫做“分解位移法”）[例3] 在倾角为α的斜面上的P 点，以水平速度0v 向斜面下抛出一个物体，落在斜面上的Q 点，证明落在Q 点物体速度α20tan 41+=v v 。

解析：设物体由抛出点P 运动到斜面上的Q 点的位移是l ，所用时间为t ，则由“分解位移法”可得，竖直向上的位移为αsin l h =；水平向上的位移为αcos l s =。

又根据运动学的规律可得竖直向上221gt h =，gt v y = 水平向上t v s 0=则002221tan v v t v gt s h y ===α，αtan 20v v y =所以Q 点的速度α20220tan 41+=+=v v v v y[例4] 如图3小球A 和B ，两侧斜坡的倾角分别为︒37和︒53两小球的运动时间之比为多少？图3解析：︒37和︒53都是物体落在斜面上后，位移与水平向的夹角，则运用分解位移的法可以得到002221tan v gtt v gtx y ===α 所以有01237tan v gt =︒同理02253tan v gt =︒ 则16:9:21=t t4. 从竖直向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规，有多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。

为此，我们可以运用竖直向是自由落体的规律来进行分析。

[例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知x =1解析：A 与B 、B 与C 到C 的时间为T ，则T v x x 021==，又竖直向是自由落体运动， 则212gT y y y =-=∆代入已知量，联立可得：g b c T -=bc ga v -=0 5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题[例6] 从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为s 2，在A 点正上高为2H 的B 点，向同一向平抛另一物体，其水平射程为s 。

两物体轨迹在同一竖直平面且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

解析：点在y 轴上的抛物线，即可设A 、B 两程分别为c bx ax y ++=2，c x b x a y '+'+'=2则把顶点坐标A （0，H ）、B （0，2H ）、E （2s ，0）、F （s ，0）分别代入可得程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=Hx s H y H x sH y 2242222，这个程组的解的纵坐标H y 76=，即为屏的高。

6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题[例7] 如图6所示，在倾角为θ解析：取沿斜面向下为x 速度为θsin 0v 、加速度为θcos g -θθcos 2)sin (202gy v v y -=- ①t g v v y θθcos sin 0-=- ②当0=y v 时，小球在y 轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得小球离开斜面的最大距离θθcos 2)sin (20g v y H ==当0=y v 时，小球在y 轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。

由②式可得小球运动的时间为θtan 0gv t =7. 利用平抛运动的推论求解推论1[例8]解析：设两小球抛出后经过时间t ，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得1cot v gt=α和gtv 2tan =β 又因为︒=+90βα，所以βαtan cot =，由以上各式可得gtv v gt 21=，解得211v v g t = 推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

证明：设平抛运动的初速度为0v ，经时间t 后的水平位移为x ，如图10所示，D 为末速度反向延长线与水平分位移的交点。

根据平抛运动规律有水平向位移t v x 0= 竖直向gt v y =和221gt y =由图可知，∆ [例10] 如图11解析：与初速度向成θ由上述推论3知2xOA =，据图9中几关系得θsin AO AB = 由以上各式解得g v AB 2sin tan 20θθ=，即质点距斜面的最远距离为gv 2sin tan 20θθβ，则有βαtan 2tan =证明：如图13，设平抛运动的初速度为0v ，经时间t 后到达A 点的水平位移为x 、速度为t v ，如图所示，根据平抛运动规律和几关系：在速度三角形中tan v gt v v y==α，在位移三角形中222tan v gtt v gt x y ===β 由上面两式可得αtan =[例11] 一质量为m 点时的动能为35J 解析：由题意作出图14由三角知识可得213cos =α [例12] 如图15所示，从倾角为θ斜面足够长的顶点A ，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为1v ，球落到斜面上前一瞬间的速度向与斜面的夹角为1α，第二次初速度2v ，球落在斜面上前一瞬间的速度向与斜面间的夹角为2α，若12v v >，试比较1α和2α的大小。

AB1v 1v 2Cαα2θθ图15解析：根据上述关系式结合图中的几关系可得θθαtan 2)tan(=+ 所以θθα-=)tan 2arctan(此式表明α仅与θ有关，而与初速度无关，因此21αα=，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度向是互相平行的。

推论5：平抛运动的物体经时间t 后，位移s 与水平向的夹角为β，则此时的动能与初动能的关系为)tan 41(20β+=k kt E E证明：设质量为m 的小球以0v 的水平初速度从A 点抛出，经时间t 到达B点，其速度t v 与水平向的夹角为α，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图16所示。

图16由上面推论4可知βαtan 2tan =，从图16中看出βαtan 2tan 00v v v y == 小球到达B 点的速度为β20220tan 41+=+=v v v v y t所以B 点的动能为)tan 41(21212202β+==mv mv E t kB )tan 41(20β+=k E[例13] 如图17所示，从倾角为︒30 解析：与初速度向成︒30角，如图17所示由βαtan 2tan =可得αβtan 21tan =所以当物体距斜面的距离最远时的动能为J J E E k kt 12)30tan 1(9)tan 41(220=︒+⨯=+=β根据物体在做平抛运动时机械能守恒有J J E E k p 3)912(=-=∆=∆ 即重力势能减少了3J【模拟试题】1. 关于曲线运动，下列叙述正确的是（ ）A. 物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度向的力（或者分力）的作用B. 物体只有受到一个向不断改变的力，才可能做曲线运动C. 物体受到不平行于初速度向的外力作用时，物体做曲线运动D. 平抛运动是一种匀变速曲线运动2. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）A. 合速度的大小一定比每个分速度的大小都大B. 合运动的时间等于两个分运动经历的时间C. 两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动3. 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（ ）A. 路程增加、时间增加B. 路程增加、时间缩短C. 路程增加、时间不变D. 路程、时间均与水速无关4. 从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为v 、v 2、v 3、v 4、v 5。

在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（ ）A. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行B. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直C. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直D. 五个小球的连线为一条曲线C. 由1v 到2v 的速度变化量v ∆的向一定竖直向下D. 由1v 到2v 的速度变化量v ∆的大小为t g ∆⋅7. 一个物体在光滑水平面上以初速度v 做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用，其运动轨迹如图2所示，那么，物体在由M 点运动到N 点的过程中，速度大小的变化情况是（ ）A. 逐渐增大B. 逐渐减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大 8. 以下关于物体运动的几个论述，其中正确的是（ ） A. 物体做匀速圆运动的期一定与线速度成反比 B. 物体做匀速圆运动的期一定与角速度成反比C. 不计空气阻力，水平抛出的物体的运动是匀变速运动D.9. 如图3A. 加速拉 B. 10. A. C. 甲和乙水平射程一定相同 D. 乙和丙水平射程一定相同11. 一辆汽车的质量为M ，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控（2/8.9s m g =）14. 某同学在做“研究平抛物体运动”的实验中，忘记了记录小球做平抛运动的起点位置O ，A 为物体运动一段时间后的位置，根据如图5所示，求出物体做平抛运动的初速度为 m/s 。