第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。

证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。

证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。

反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。

则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。

易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。

总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。

由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。

证毕。

2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。

证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。

因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。

这样{1}()A λλσ=⊂。

反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。

类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。

即()A λσ∈。

因此(){1}A σλλ==。

证毕。

3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===L L L L ，试求()A σ。

解 对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=L L ，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===L L L L ，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。

对任意x A ∈，显然Ax x ≤，因此1A ≤，所以(){}{1}A A σλλλλ⊂≤⊂=。

这样我们就证明了(){1}A σλλ==。

4． 设F 是平面上无限有界闭集，{}n α是F 的一稠密子集，在2l 中定义算子T ：1211(,,,)(,,)n n n Tx x x x x x αα==L L L L则n α都是特征值，(),\{}n T F F σα=中每个点是T 的连续谱。

证明 对任意n ，(0,0,,1,0,)n e =L L ，其中1在第n 个坐标上。

由题设，n n n Te e α=，因此n α是T 的特征值。

又由于()T σ是闭集，所以{}()n F T ασ=⊂。

若F λ∉，则(,)0d F λ>。

定义算子R λ，若212(,,,)n x x x x l =∈L L ，1212111(,,,,)nn R x x x x λλαλαλα=---L L易验证1(,)R x x d F λλ≤，且()()R I T I T R I λλλλ-=-=。

因此()T F σ⊂。

若{}n F λα∈-，且212(,,,)n x x x x l =∈L L ，使Tx x λ=。

则对任意n ，n n n x x λα=。

由于n λα≠，则0n x =，1,2,n =L 。

这样x=0，因此λ不是特征值，而是连续谱。

证毕。

5． 设λ为线性算子nA 的特征值，则λ的n 次根中至少有一个是算子A 的特征值。

证明 设λ是nA 的特征值，λ的n 次根为12,,,n λλλL 。

存在0x ≠，使()0nA I x λ-=，则12()()()()0nn A I x A I A I A I x λλλλ-=---=L 。

若1()0A I x λ-=，则1λ就是A 的特征值，否则必有某i ，11()()()0i i A I A I A I x λλλ----≠L ，而11()()()0i i A I A I A I x λλλ+---=L ，则1i λ+是A 的特征值。

证毕。

6． 设A 为Banach 空间X 上的有界线性算子，0()A λρ∈，又设{}n A 为X 上一列有界线性算子，且lim 0n n A A →∞-=，证明当n 充分大后，n A 也以0λ为正则点。

证明 00()n n I A I A A A λλ-=---100()[()()]n I A I I A A A λλ-=----。

当n 充分大时，10()()1n I A A A λ---<，这样 10()()n I I A A A λ---- 是可逆的。

此可逆性由本章§2定理1可证，又0I A λ-也是可逆的。

因此当n 充分大后，0n I A λ-也可逆。

证毕。

7． 设A 是为Banach 空间X 上的有界线性算子，则当A λ>时，11()nn n A R A I λλλ∞-+==-=∑，1R Aλλ≤-。

证明 当A λ>时幂级数1n nn Aλλ∞=∑收敛，因此级数1nn n A λ∞+=∑必按算子范数收敛。

111100()()1nnnn n n nn n n n n A A A A I A I A λλλλλλ+∞∞∞∞+++====-=-=-=∑∑∑∑这就证明了110()nn n A A I λλ∞-+=-=∑，111nnn n n n AA R Aλλλλ∞∞++===≤=-∑∑。

证毕。

8． 设A 为X 上的有界线性算子，,()A λμρ∈，则()R R R R λμλμμλ-=-。

其中与,R R λμ的意义同第7题。

证明 在等式11()()R R I A I A μλμλ---=---两边左乘R λ右乘R μ得()(()())R R R I A I A R R R λμλμλμμλμλ-=---=-。

因此()R R R R λμλμμλ-=-，证毕。

9． 设A 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，A*为A 的共轭算子，证明(*){()}()A A A σλλσσ=∈=证明 先证若T 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，若T 可逆，则T*也可逆，且11(*)()*T T --=。

事实上，对任意,x y H ∈，11,,,()**x y TT x y x T T y --<>=<>=<>。

这样1,()**0x y T T y -<->=对任意x H ∈成立，因此1()**y T T y -=恒成立，进而1*()*T T I -=。

同理1*()*T T I -=。

这一证明了T*也可逆，且11()*(*)T T --=。

现在设()A λσ∈，则A I λ-可逆，因此()**A I A I λλ-=-也可逆，从而(*)A λσ∈。

同理若(*)A λσ∈，则()A λσ∈，这就证明了(*){()}A A σλλσ=∈。

证毕。

10． 设1T 是 1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3X 的全连续算子。

证明 设{}n x 是1X 中有界点列。

因为1T 全连续，所以1{}n T x 中必有收敛子列。

我们记之为1{}k n T x 。

又因为2T 有界，所以21{}k n T T x 也收敛，因此21{}n T T x 有收敛子列。

这就证明了21T T 是全连续算子。

证毕。

11． 设A 是2l 上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)n n e -=L L 14243个，1k jk j j Ae a e ∞==∑其中2,1k iji j Ae a∞==<∞∑，证明A 是全连续的。

证明 若12(,,,)n x x x x =L L ，定义11:()nn n kjkj j k A A x x ae ∞===∑∑：则n A 是有界秩算子，且2211()n kjkj n k A A x x a∞∞=+=-=∑∑22111()()kjk j n k k xa ∞∞∞=+==≤∑∑∑2211jkj n k a x ∞∞=+==∑∑所以0n A A -≤→()n →∞。

由本章§3定理2，A 是全连续算子。

证毕。

12． n e 的符号同第11题。

作2l 上算子U 。

11,1,2,.k k Ue e k k+==L 证明U 是2l 上全连续算子且(){0}U σ=。

证明 若21i i i x x e l ∞==∈∑，则111i i i Ux x e i ∞+==∑。

令111n i i i U x x e i∞+==∑，则n U 是有限秩算子，且 222211111()()n i i i i n i n U U x x x i i ∞∞∞==+=+-=≤∑∑∑2211i x i∞=≤∑所以0()n U U n -≤→∞。

这样U 是有限秩算子n U 的极限，U 必是全连续算子。

由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证(){0}U σ=，只要证U 无非零特征值。

倘若0λ≠，211111,,i i i i i i i i i x x e l Ux x x e x e i λλ∞∞∞+====∈==∑∑∑。

即121211(0,,,,,)(,,,)2n n x x x x x x nλ=L L L L 。

则1110,,1,2,i i x x x i iλλ+===L ，由此可得0,1,2,i x i ==L 。

因此λ不是U 的特征值。

证毕。

13．设 10()()()s tA s et dt ϕϕ+=⎰， 求A 的特征值和特征函数。

（提示：记 10()tc e t dt ϕ=⎰ ）解 记1()t c e t dt ϕ=⎰。

设ϕ为对应特征值λ的特征函数，则A ϕλϕ=，即s ce λϕ=。

若0λ≠，则sce ϕλ=。

代入c 的表达式：1ss cc e e ds λ=⎰，解得12201(1)2s e ds e λ==-⎰。

因此非零特征值21(1)2e λ=-，特征函数为0()s s c e ϕ=，其中0c 为任意非零常数。

若0λ=，则1()0s e s ds ϕ=⎰，特征函数{}s e ⊥为中任意非零函数。

14．积分算子的核为，1(,)()()nkkk K s t p s q t ==∑，其中{}k p 为线性无关的函数组，则其非零特征值λ相应的特征向量e 有形式 1nkk k e cp ==∑， k c 是常数。

若记 ()()bij i j aq q x p x dx =⎰，则k c 可由下式决定：1,1,2,nk i iki c c qk n λ===∑L 。

证明 (,)()baA K s t t dt ϕϕ=⎰1()()()nb kkak p s q t t dt ϕ==∑⎰1(()())()nb k k ak q t t dt p s ϕ==∑⎰。