点的表示：
二维用{x,y}或{x(t),y(t)}表示。
齐次坐标用n+1维表示，即{x,y,z,h)或{x,y,h}。
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2）边3.3 几何元素的定义
2）边
两个邻面（正则形体）或多个邻面（非正则形体）的交线。 直线边由其端点（起点和终点）定界；
曲线边由一系列型值点或控制点表示，也可用显式、隐式 方程表示。
算构建实际存在或想象中的形体模型，是确定物体形状和其它几何特征方法的 总称。它包括三个方面：
1) 表示（Representation)： 对实际存在的形体进行数学描述。
2) 设计（Design)： 创建一个新的形体，调整变量满足既定目标。 3) 图形表示（Rendering): 直观形象描表示法（Sweep）
扫描表示法是将一个面域沿某一轨迹移动，以 形成特定的几何形体，它是生成形体（或零件）的 基本方法。
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3. 构造实体几何法（CSG）
Constructive Solid Geometry
构造实体几何法将简单的形体经 过正则集合运算构成复杂形体。
一个复杂形体的CSG表示可以看 成是一颗有序的二叉树。
树的根结点：整个复杂形体， 终端结点（叶结点）：体素、形体
运动的变换参数。 非终端结点（中间结点）：正则集
合运算，或形体的几何变换。
（－*）
（－*） S1
△X
平移
S2
△X
△X
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3.7 三维实体造型案例
熟练掌握三维实体造型的基本方法及用户坐标系（UCS） 等命令是构造三维实体模型的关键，
1. 三维实体造型的基本方法
设备坐标系（DCS： Device Coordinate System）
3
坐标变换
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3.3 几何元素的定义
1）点
几何造型中的最基本元素。 自由曲线、曲面及其它几何形体均可用有序点集表示。 用计算机存储、处理、输出形体的实质就是对点集及其连 接关系的处理。
三维直角坐标系中的点用{x,y,z}或{x(t),y(t),z(t)}表示
6
3.3 几何元素的定义
3）面
形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内 环界定其范围。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该 面的正向。
7
3.3 几何元素的定义
4）环
环是有序、有向边组成的面的封闭边界。有内外之分， 外环确定面的最大外边界，其边按逆时针方向排序。内环 确定面中孔或凸台的边界，其边按顺时针方向排序。
关于三维模型与模型的显示类型
三维模型—从模型本身的内部数据来描述形体，是形体的本质属性。 模型的显示类型—形体的外在表现形式。
1）曲面模型和实体模型均能以线框、消隐、小平面着色、平滑明暗和 仿真等类型中的任何一种方式显示。
2）线框模型则只能以线框类型方式显示。 3）不同的三维模型在需要的时候可以转化。
实体模型 曲面模型
* 曲面模型 线框模型 转化过程不能逆转。曲面模型不能转化为实体模型，因为它所包含的 信息比实体模型少。线框模型也不能转化为曲面模型，因为它包含的信 息比曲面模型少。
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3.6 常用的几何造型方法
线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的概念。 从用户角度看，形体表示以特征表示和构造的实体几
2
3.2 表示形体的坐标系
世界坐标系（WCS： World Coordinate System）
用户坐标系(UCS： User Coordinate System)
观察坐标系（VCS： Viewing Coordinate System）
规格化的设备坐标系（NDCS： Normalized Device Coordinate System）
（2）由参数定义的一条（或一组）截面轮廓线沿一条（或一组）空间参数 曲线作扫描运动而产生的形体。
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3.4 定义形体的层次结构
在计算机中定义几何形体将几何元素按六个层次结构表示。
形体（Object)
Cube f1 f2 f3 f4 f5 f6 e1 e2 e3 e4 …. e10 e11 e12
外壳(Sell) 面(Face) 环(Loop) 边(Edge)
不可能产生有实际意义的形 体； 图形会有二义性；
画二维线框图（工程 图）、三维线框 图
表面 模型
完整定义形体表面， 为其他场合提供 表面数据
不能表示形体
艺术图形； 形体表面的显示 ； 数控加工
物性计算；
实体 模型
定义了实际形体
只能产生正则形体； 抽象形体的层次较低
有限元分析； 用集合运算构造
形体
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内环
外环
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3.3 几何元素的定义
5）体
由封闭表面围成的空间，也是三 维欧式空间中非空、有界的封闭子 集，其边界是有限面的并集。
正则形体
非 正 则 形 体
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3.3 几何元素的定义
6 ）体素
可以用有限个尺寸参数定位和定形的 体。常有三种定义形式：
（1）从实际形体中选择出来的一组单元实体， 如长方体、圆柱体、球体等。
何表示（CSG）较为方便； 从计算机对形体的存储管理和操作运算角度看，以边
界表示（BRep）最为实用。 为了适合某些特定的应用要求，形体还有一些辅助表
示方式，如单元分解表示和扫描表示。 比较常用的造型方法：
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1. 边界表示法
（Boundary Representation Scheme）
通过描述形体的边界来表示一个形体，将形体的边界分 成有限个“面”（faces）或“片”（patches），并使每 个“面”或“片”由一组边和顶点来确定边界。
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
点(Vertex)
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3. 5.形体的三种模型
1．线框模型 wire frame model 2．表面模型 surface model 3．实体模型 solid model
模型 类型
优点
局限性
应用范围
线框 模型
结构简单、易于理解、 运行速度快
无观察参数的变化；
计算机图形学
Computer Graphics
第三章. 几何造型
Geometric Modeling
1
3.1 几何模型的概念
1.模型: 表示对象的数据的组合及数据间的关系，由数据和程序过程混合组 成，
并按一定的数据结构存储在数据库中。
2.几何模型： 描述对象的形状、大小、位置等几何和拓扑信息的组合。 3.几何造型： 通过点、线、面和立体等几何元素的定义、几何变换、集合运