卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120年级专业学号姓名题号一2二三0四总分分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。

1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。

（改写为）19992001?）（ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、）（关，与常数项无关。

分）二、填空题（每空2分，共36_________.________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1.0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____.则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, .331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。

312?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数.(k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6.??)k(X .生的向量序列收敛的充分必要条件是AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵14?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。

??x?yy?8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为?y(0)?1?___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）32?x01??3x?xf(x)?2)(1, 1.在区间为初值用牛顿迭代法求方程内的根，要求以0证明用牛顿法解此方程是收敛的；（1）,xx,计算结果（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算21位）。

取到小数点后422.给定线性方程组x?0.4x?0.4x?1?312?0.4x?x?0.8x?2?321?0.4x?0.8x?x?3?312（1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

y f(x)在如下节点处的函数值3.已知函数x-1 0 1 2y0431（1）建立以上数据的差分表；P(x)y(1.1)的近似值；2（）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式，并计算2（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。

34.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。

x -1 0 1 252y14???(3)x)fy?f((3)f的近似值。

和在以下节点处的函数值，利用差商表求已知函数5.4 3 x 18 1 y 2写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列 6. 常微分方程的数值解。

22??yy??x(0?x?1,h?0.2)?0(0)?y?5(x,y)(i 0,1,2,,n)，请用多种方法建立这些数据点之间四、（个数据点已知8分）n+1ii的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

6期末考试答案及评分标准（A卷）考试科目：数值分析2007学年第二学期10分）一、判断题：（每小题2分，共5. ××3. × 4. 2. 1.×√36分）二、填空题：（每空2分，共2?100.5?0050.0.5或1.，26,155,2.20, 3.1,0,1,3 4.?(A)?A5.?(M)?16.10??4?2?????,,1,7. 1????021???2?1)yx??yy?y(x)?(1??n?0,1,2,2.5y?0.5,?y?1.5x8. 或nnnnn?1nnnn?125、6小题每题7分，共46分）分，第三、解答题（第1～4小题每题831?x?3xxf()?）证明：，由于1. （1f(1)??3?0,f(2)?1?0, a)2??3?0(x?(1f)(x?3x,2)), b)????,2)),x0?(1(f6(x)?x?(x)f(1,2)上不变号，在即c)??2?x(2)?0,(2)ff对于初值，满足d) 0所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为73f(x)x?3x?1nnn?x?x?x?nn?1n2?3?)3fx(x nn分 (2)2?x进行迭代，得取初值01.8889,?x1………………………………………1分1.8795.x?2………………………………………1分）Jacobi迭代公式为2. 解：（1))(k(k?1)(k?10.4x???0.4x?x321?))(kk?1)(k(x?2??0.4x0.8x?分……………………………2?231?)(k?1)(k)(k3???0.4x?x0.8x?321 Gauss-Seidel迭代公式为)(k1)(k)(k??1?x0.4x?0.4x??321?)kk?1)((k?1)(x2?0.8x???0.4x……………………………2分?231?1)?1)(k(k?1)(k?3?0.8x??0.4xx??312?440.0.?0.40.80?得开，为征）（2Jacobi迭代矩阵的特方程展?400..83?????00.256?0.96??0??0.4(??0.8)(0.505)?0.4?0.505)(，，即???0.2928?0.8000,??-1.0928,1从而得（或由单调性易判断必有一个大于，321Jacobi的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以迭代法发散。

2分……………………………?0.40.4??00.80.4?迭代矩阵的特征方程为Gauss-Seidel，展开得???0.40.82??????0.204,?0.628,??0,0?(0.128)?0.832?迭代矩阵的谱半径，解得312迭代法收敛。

Gauss-Seidel小于1，所以2……………………………分1解：3. （）建立差分表8y x y?32y??y11?3404?1?232?13? 2分………………………………………2）建立牛顿后插公式为（23)?12)(x2)?((Px)?0?x?(x?2!!21)1)(x?)?(x?2x??3(?2 24?x??则所求近似值为79.)?2P(1.12分 (3)）根据前三个节点建立牛顿后插公式为（341)1(x)?1)?()?3?x1P(x?(x2!21!)1x??2x(?3?(x?1)24x2x????)(1682.P1)?(1.则2根据事后误差估计法2x?)1(??)0.9x)?.9)?P(P(0(R??2221?x故截断误差9.?00471.?02.68)??(2.79?.R(11)?21.2分 (3)2.x?a?)?aaxP(x根据已知数据，得4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为2102111?1????a??????00012????????a,?YA,M??1????1115??a??????20142???? 9 ……………………………2分则4268??????????26M,M8Y?M4?????????61868????……………………………1分建立法方程组为426a8??????0??????4a268???????1??????a68186??????2……………………………2分解得a?3.5,a?1.5,a??1.5.210……………………………1分2P(x)?3.5?1.5x?1.5x.从而得所求一次最小平方逼近多项式为1……………………………1分P(x)为已知节点数据的插值二次多项式。

构造如下差商表：5. 解：设2y x一阶差商二阶差商2125847213P[4,3,3][3,3]P22(3)P3P[3,3,3]2[3,3]P22(3)P32……………………………2分P(x)f(x)的插值函数，故有是因为二次多项式的二阶差商为常数，又25P[4,3,3]?P[3,3,3]?222……………………………2分而P[3,3]?752?3]?3,[4,P，23?42因此得109?3]P[3,，22分……………………………1由于)k(]x,,x,x,x[(x)?k!Pf，n1k?从而得9?,]?P[3,f3(3)?22??.5]?,3,3(3)?2!P[f32分 (2)22y?0.2y?0.2x?f(x,y)?y?y?h 6. 解：前进欧拉公式：1分…………nnn1?nnnn22y0.20.2x??x,y)?yhy?y??f(分......1 后退欧拉公式：1n?1?nn?1?1nn?1nn预估时采用欧拉公式22*y0.20.2x?y?y?nnnn?1分 (1)校正时采用后退欧拉公式??2*2y0.2??yy?0.2x1n1n?1?nn? 1分……………………………,2,3,4,5)1(i??x0.2i,2.?0x?,y?0,h0由初值知，节点分别为i000.2,x?当122*0,?0.2yy?0.2x?y?0010??2*2008y.2?0.2?y?y0.x?0，1110 1分……………………………0.4,x?当222*0.0160,?y?0.2??yyx0.21121 11??2*204010y.2x?0.2?y?y?0..2212……………………………1分x?0.6,当3*22y?y?0.2x?0.2y?0.0724,2232??2*21131.??0.20y?yy?0.2x. 3323……………………………1分x?0.8,当4*22y?y?0.2x?0.2y?0.1877,3343??2*2?y0.2481??y?0.2x0.2y. 4434……………………………1分x?1.0,当5*22y?y?0.2x?0.2y?0.3884,4454??2*2?y0..2x?0.24783?yy?0. 5455四、（8分）答：1、可以建立插值函数：（1）Newton基本差商公式P(x)?f(x)?(x?x)f[x,x]?(x?x)(x?x)f[x,x,x]01002n0011]xx,f[x,,)?xx)(x?x)(x?x??(0n0?11n1……………………………1分（2）Lagrange插值多项式L(x)?af(x)?af(x)??af(x)??af(x)n0i1n1in0(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)n?1ii?01,(i?0,n,)?a1,.其中i(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)ni11i?ii?0ii……………………………1分这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。