在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
f
(t
t0)ejtdt
s t t0
f (s)ej(st0)ds
ejt0 f (s)ejsdsejt0F()
推论：
若 F[f(t)]F ()，
则F[f(t)cos0t]12[F(0)F(0)]， F[f(t)sin0t]2i[F(0)F(0)]，
( 2 )函 数 为 偶 函 数 ， 即 ( t ) ( t ) .
二、d-函数的傅氏变换为:
d d F [( t ) ] F () ( t ) e i t d t e i t 1
t 0
于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.
d(t)F1[1]21 eitd eitd2d(t)
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如
点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的
方式加以解决.
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满 足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f(t)|dt
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函 数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用 单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅 氏变换.
F 1 [A(F ) B(G ) ]A F 1 [F () ]B F 1 [G ()]
2. 位移性质:
若 F[f(t)]F()， t0,0为实常数，
F[ f (t t0)] ejt0 F()， F1[F( 0)] ej0t f (t)
或F[ej0t f (t)] F(0)
证明：F[f (t t0)]
例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
d 证法1：F 1 1 e i t d ts t e i s d s 2.
证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
d f(t) 2 1 2()e i td e i t 0 1
d 例 2 证 明 e i 0 t 和 2 ( 0 ) 构 成 一 个 傅 氏 变 换 对 。
例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F() F[f (t)] sin0teitdt
e i 0 t e j 0 te i td t 1 ( e i( 0 ) t e i( 0 t) d t
2 i
2 i
d d d d 2 1 i 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) i( 0 ) ( 0 ) .
单位脉冲函数及其傅氏变换 Fourier变换与逆变换的性质
7.1.3单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
sin 0t

t
|F()|
0 O
0
例 5 单 位 阶 跃 函 数 u(t) 1 0,,tt 00, 证明：
F[u(t)] 1 d(). j
证： F 1 j1 d( ) 2 1 j1 d( ) ej td
2 1 d()ejtd 2 1 j1 ej td
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛 选 性 质 ) d(t)f(t)dtf(0)及
d dd d(tt0)f(t)dtf(t0).（ ft为 连 续 函 数 ）
1 2
,
t 0 u(t)
1 2
1
2
1,
t
0
7.2 Fourier变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了
叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅 氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在 证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质:
F [a(t) f b(tg ) ]a F [f(t) ]b F [g (t)]
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进
一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
证 ： f(t)2 1 F ()eitd
d d 1
2
2
(
0)eitd eit
0
ei0t .
即 e i 0 t 和 2 ( 0 ) 构 成 了 一 个 傅 氏 变 换 对 。
由上面两个函数的变换可得
eitdt 2d()
ei(0)tdt
2d(0)
注 在 d函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
1 221 cost jjsintd
1 2 2 1 sin t d 1 2 10 sin td
1 2 2 1 sin t d 1 2 10 sin td
0s i ntd 2,2,
t0
t0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
j
d
()