在前面的线性代数和矩阵理论等数学课程中， 我们已经知道了向量范数和矩阵范数的概念。实际 上，矩阵可以看成是向量空间到向量空间的映射。 从几何意义上讲，向量的范数表达的是向量的长度； 而矩阵的范数则反映了在这种映射过程中，向量长 度被放大或缩小的一种“增益”。
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在控制系统中，经常要面临各种信号，这些信号 通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统在这 些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函数。
(2) H范数具有乘法性质
PQ P Q ，这一
性质对研究对象不确定影响下，系统的鲁棒稳定性
问题相当重要。
11.3.2 H 标准问题
在基于
H
控制理论的控制系统设计中，无论是
鲁棒稳定还是干扰抑制问题，都可以转化为求反馈
控制器使闭环系统稳定且闭环传递函数阵的 H范数
最小或小于某一给定值。这种同一模式下的 H优化
第十一章 鲁棒与最优控制
11.1 数学基础知识 11.2 LQR、LQG问题与 H2 最优控制问题 11.3 H控制理论 11.4 线性定常系统的 H 最优控制问题 11.5 小结
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由前面几章可知，最优控制规律的设计，要求必 须能够得到系统的精确数学模型，否则，所谓的最 优设计全部都是徒劳的。正因为在实际工程中，被 控系统不确定性的存在，导致了人们对这一问题的 重新认识。
即：
RL2 u | u L2 ,u为j的实有理函数（向量）
RL u | u L ,u为j的实有理函数（向量）
由定义可知，RL 是在虚轴上无极点的真实有 理函数（向量）的全体。
11.1.2 系统的范数
本书中所讨论的系统，若没有特别说明，均是线 性时不变有限维因果系统。我们知道，对于一个系统 的作用，实际上可看成对信号进行某种变换。因此， 可以把系统看作为一种算子。关于算子，也就是指定 义在两个函数空间之间的某种映射关系。这里我们主 要把系统作为线性算子来处理。
R
对于频域信号 u j ，常用范数有
2-范数： u
1
u j 2 d 1
u
*
j
u
j
d
2 2
2
∞-范数：
u
ess supu j
R
其中u* j 是 u j的共轭转置。
由于实际中常遇到的频域信号都是 j 的（真） 实有理函数，因此，我们把 L2 和 L中实有理函数 的全体给出专门的记号，分别记作 RL2 和 RL。
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20世纪30年代开始发展起来的经典控制理论， 利用幅频裕度和相频裕度的概念研究反馈系统，使 设计的系统在一定范围内变化时能满足所要求的性 能。由于充分大的增益裕度和相位裕度，使得系统 在具有较大的对象模型摄动时，仍能保证系统性能， 并具有抑制干扰的能力。
因此，经典反馈控制本质上是鲁棒的，且方法 简单、实用，直至今日，仍在工程设计中得到广泛 应用。但是，其不足之处是无法直接用于多输入多 输出(MIMO)系统。
它是Lp ,的一个闭空间。因为实际信号均满 足t 0，所以我们讨论的信号均属于 Lp[0,)
空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素ut
可以是单个的函数，也可以是向量函数。
对于时域信号 ut ，我们常用的范数有：
1-范数：
u utdt
1
2-范数：
u
2
u
2
t
12
dt
-范数：
u ess suput t,
E
y1T
u1T
y1 u1
E
xT
Qx
uT
Ru
上式就等于稳态随机调节器的指标函数。这个输
出的均方值也能通过闭环系统的2-范数来得到。
E
y1T
u1T
y1 u1
Gcl
2 2
通过这两个表达式，随机调节器的指标
函数可以看作系统2-范数的平方：J SR
J
2 2
假设谱密度矩阵是单位阵。由于平方运算是单调
2
稳态线性二次型高斯最优控制问题等价于一
个
H 2最优控制问题。这个
H
最优控制问题按如
2
下的方式给出：
1 t 1 t ut
S1 2 B S1 2
Bu
被控对象
xt
•dt
R1 2
u1 t
y1 t
Q1 2
mt
Cm
A
控制器
图11-2 把LQG问题作为一个H2最优控制问题
给出具有标称干扰输入和参考输出的被控对象：
将式(11-4)代入式(11-3)，消去 y，得从 w 到 z的 闭环传递函数为
Fl P, K P11 P12KI P22K 1 P21
由此，H 标准问题可表述如下：
(11-5)
对于一个给定的广义被控对象 P，求取一个反
针对现代控制理论存在的问题，1981年，Zames
提出了著名的
H
控制思想。他针对一个具有有限功
率谱干扰的单输入单输出系统的设计问题，引入了灵
敏度函数的
H
范数作为目标函数，使干扰对系统的
影响降到最低限度。
采用范数作为性能指标有以下优点：
(1) 可以处理LQG优化无法解决的变功率谱干扰 下的系统控制问题;
1、时域信号
时域信号ut 可理解为从 ,到实数 R 的一
个函数，设 ut 是勒贝格可测函数，下面给出关于函
数空间的一些定义。
定义11-1 对于正数 p [1,) ，元素u 为勒贝格
可测函数，且满足
ut pdt
的函数空间，称为 Lp , 空间。
其中 Lp , 空间中，我们常用的函数空间有
2
系统范数设计控制器。比如，下面我们将要介绍
的无穷范数。
11.3 H控制理论
11.3.1 问题的提出
由于各种复杂因素的影响，控制系统本身存在 着不确定性。这种不确定性包括数学模型自身的 不确定性和外界干扰的不确定性。反馈控制可以 克服或减小不确定性的影响，使系统达到要求的 性能指标。但是，当系统存在不确定性影响时， 所设计的反馈控制器能否使系统达到期望的指标 要求，这是一个需要回答的问题。
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把LQR问题明确地叙述为一个系统的2-范数最优 化问题可以从另一个角度考察LQR问题，并且可以 比较容易得到公式来描述系统的频域特性。
H 2最优控制问题将为下面的被控对象找到线 性时不变控制器
x&t Ax t Bu
I
u
t t
mt I
0
y1
t
Q1
2
x
t
0
u1 t 0
应当指出：2－范数的平方实际上是对信号能量 的一种度量，而∞－范数则是对信号幅值上界的 度量。因此，L2[0,)中的信号属能量有限信号， 如单位脉冲信号（幅值不受限）；而 L[0,) 中 的信号则属于幅值有限信号，如单位阶跃信号 （能量不受限）。
可见，L2[0,)和 L[0,)以及 L1[0,)空间并不是完 全等价的。
H
最优控制问题
2
11.2.1 LQR问题与 H2最优控制问题
一个反馈系统的性能可以用从扰动输入到参考输 出之间的闭环增益来衡量。系统的2-范数代表一个平 均增益，可被用来作为一个最优控制问题的代价函数。 当被控对象被近似给定以后，关于LQR的最优控制问 题也就是使闭环系统的2-范数取最小值的最优问题。
实际被控对象和为了描述设计指标而设定的加权函数，
表示所K设s计 的控制器。
w
z
Ps
u
y
K s
图11-3
H
标准控制问题
广义被控对象Ps 的状态方程描述为
x Ax B1w B2u
z C1x D11w D12u
(11-1)
y C2 x D21w D22u
其中 x Rn 表示状态向量，传递函数的形式为
x&t Ax t Bu
B S1 2
ut
S1
2
1
t
1 t
mt y1 t
Cm Q1 2
xt
0 0
0 0
S1 0
2
ut 1 t
u1t 0
R1 2 0 0 1 t
找到一个反馈控制器，能够使闭环系统内稳定而 且使闭环系统2-范数取最小值：
J 2 Gcl 2
L1 , L2 , L ,
： utdt
：
ut
2
dt
： ess suput
t,
其中，ess sup表示真上确界。所谓函数在点集 Q
上的真上确界是指它在 Q中除某个零测度集外的上 确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。
在空间 Lp , 中，所有对 t 0 除去测度为
零的集合上函数的全体所构成的集合记为L p [0,)，
Ps
P11
P21
P12
P22
D11
D21
D12 D22
C1 C2
sI
A
1
B1
B2
A C1
C2
B1 D11 D21
B2 D12 D22
A C
B D
输入输出描述为
z y
w
Pu
P11 P21
P12 w
P22
u
控制器表述为
u Ky
(11-3) (11-4)
为了表现出这种等价性，LQG代价函数能用闭环 系统2-范数的形式写出：
J E xT Qx uT Ru E Q1 2x T
R1 2u
T
Q1
R1
2x 2u
Gcl
2 2
由于平方运算是单调的，使LQG代价函数最小 等价于使闭环系统2-范数最小。
LQG问题的
H