关于内部收益率（IRR）的最新算法－0.816法指导教师：陈新元．张波一．0.816法的优点１．0.816法属原创性用于计算内部收益率（IRR）的最新算法．此法不仅克服了插值法的诸多缺点，如：（１）．插值法是一种试凑性质的算法，计算过程繁琐，往往要经过若干次试算后才能满足IRR的求解条件．（２）．插值法所求的结果是近似解，与实际工程情况往往存在较大的误差，一般地很难满足工程中的精度要求，尤其是对于IRR这种相对指标而言更是显其重要．（３）．插值法本身对其所求的结果的真伪性不能进行检验．如：某工程的现金流量如下：某工程的现金流量表１N（年份）０１２３现金流量（万元）-１００+４７０-７２０+３６０用插值法可求出满足：NPV=0条件的解有：i1＝∵20％；i2＝50％；i3＝100％．但是，经检验上述三个内部收益率均不是该工程的内部收益率．即均为伪．亦即该工程没有内部收益率，既如此，那么用插值法所求的内部收益率就没有实际意义了．二．0.816法（公式推导从略）（一）．步骤１．第一步：取原值令X0=0.816 可计算出：NPV0=f（X0）X1=0.87865（当NPV0<0时）X1=0.75335（当NPV0>0时）２．第二步：取继值（迭代公式）X k-1=X k-NPV（X k）（X k-X k-1）/[NPV（X k）-NPV（X k-1）] ………………（１－１）３．如果∣NPV（X k∣≤ε（ε为给定的精度要求，精确解ε=0）………………（１－2）则：IRR=1/X k-１………………（１－3）否则，转到式（１－１）．直到满足∣NPV（X k∣≤ε为止（二）．IRR真伪性检验条件：F k=Σa t X（-k+t）（IRR）≤0．（t=0．1．2…n）否则，所求的IRR为伪．（三）．工程应用实例例一．试求表１数据所代表工程的内部收益率．解：（一）．IRR的计算：取X0=0.816 ∣ε∣=0.1万元NPV0=Σa t X t0=-100X00+470X10-720X20+360X30=-0．3<0 ∴X1=0.87865NPV１=Σa t X t１=-100X0１+470X1１-720X2１+360X3１=1.34>ε取X２=X１-NPV（X１）（X１-X０）/[NPV（X１）-NPV（X０）]=0.87865-1.34×（0.87865-0.816）/（1.34+0.3）=0.83NPV１=Σa t X t２=-100X0２+470X1２-720X2２+360X3２=-0.63<ε=0.1∴IRR=1/X k-１=1/X２-１=１/0.83-1=20%（二）．IRR的真伪性检验F k=Σa t X（-k+t）（IRR）（k=3）=-100X2（-３+０）+470X-2２-720X-1２+360X０２=０（满足）F k=Σa t X（-k+t）（IRR）（k=2）=-100X2（-２）+470X-１２-720X０２=-300<0 （满足）F k=Σa t X（-k+t）（IRR）（k=１）=-100X2（-１）+470X０２=350>0 （不满足）故：所求的内部收益率IRR=20%为伪．即IRR=20%不是该工程的内部收益率．例二．试求表２数据所代表工程的内部收益率．某工程的现金流量表２N（年份）０１２３现金流量（万元）－２０+１０+8 +６解：（一）．IRR的计算：１．用插值法解：试取：i1＝10％；i2＝12％；NPV１=-20+10×（P/F.10%.1)+８（P/F.10%.２)+６（P/F.10%.３）=-20+10×0.9091+8×0.862+6×0.513=0.21>0NPV２=-20+10×（P/F.12%.1)+８（P/F.12%.２)+６（P/F.12%.３）=-20+10×0.8929+8×0.7972+6×0.7118=-0.423<0∴IRR=i1+∣NPV１∣（i2-i1）/（∣NPV１∣+∣NPV２∣）=10%+0.21（１５％-１０％）/（0.21+1.19）=10%+0.21×2％）/（0.21+0.423）=10.66%２．用0.816法解取X0=0.816 ∣ε∣=0.1万元NPV0=Σa t X t0=-20X00+8X10+8X20+6X30=-3.235<0 ∴X1=0.87865NPV１=Σa t X t１=-20X0１+8X1１+8X2１+6X3１=-0.9673>ε取X２=X１-NPV（X１）（X１-X０）/[NPV（X１）-NPV（X０）]=0.87865-（-0.9673）（0.87865-0.816）/（-0.9673+3.235）=0.905NPV１=Σa t X t２=-20X0２+10X1２+8X2２+6X3２=0.05<ε=0.1∴IRR=1/X k-１=1/X２-１=１/0.905-1=10.5%（二）．IRR的真伪性检验F k=Σa t X（-k+t）（IRR）（k=3）=-20X2（-３+０）+10X-2２+8X-1２+6X０２=０（满足）F k=Σa t X（-k+t）（IRR）（k=2）=-20X2（-２）+10X-１２+8X０２=-5.37<0 （满足）F k=Σa t X（-k+t）（IRR）（k=１）=-20X2（-１）+10X０２=-12.10<ε=0.1 （满足）故：所求的内部收益率IRR=10.5%．即IRR=10.5%是该工程的内部收益率．三．技术经济方案的相对性检验（以例说明）例三．试对表３数据所代表的两个工程（互斥方案）进行经济分析与比选．（用NPV和IRR）Ａ.Ｂ工程的现金流量（万元）表３０１２３４i0 N（年份）Ａ-700 100 200 600 400 10%Ｂ-400 100 100 300 300 10%Ａ－Ｂ-300 0 100 300 100解：（一）用NPV选优（绝对性检验）NPVＡ＝-700+700（P/F.10%.1)+200（P/F.10%.２)+600（P/F.10%.３）+400（P/F.10%.4）＝280（万元）>0NPVＢ＝-400+100（P/F.10%.1)+100（P/F.10%.２)+300（P/F.10%.３）+300（P/F.10%.4）＝204（万元）>0故知：Ａ方案为优．（二）用IRR选优（0.816法）（绝对性检验）１．对于方案Ａ：（单位；百万元）取X0=0.816 ∣ε∣=0.01万元NPV0=Σa t X t0=-7X00+1X10+2X20+6X30+4X40=0.176>0 ∴X1=0.75335NPV１=Σa t X t１=-7X0１+1X1１+2X2１+6X3１+4X4１=-1.25取X２=X１-NPV（X１）（X１-X０）/[NPV（X１）-NPV（X０）]=0.75335-（-1.25）（0.063）/（-1.25-0.176）=0.808NPV２=Σa t X t１=-7X0２+1X２+2X2２+6X3２+4X4２≈0∴IRRＡ=1/X k-１=1/X２-１=23.67%２．对于方案Ｂ：（单位；百万元）取X0=0.816 ∣ε∣=0.01万元NPV0=Σa t X t0=-４X00+1×X10+1×X20+3X30+3X40=0.442>0 ∴X1=0.75335NPV１=Σa t X t１=-4X0１+1X1１+1×X2１+3X3１+3X4１=-0.43取X２=X１-NPV（X１）（X１-X０）/[NPV（X１）-NPV（X０）]=0.75335-（-0.43）（0.063）/（-0.43-0.442）=0.786NPV２=Σa t X t１=-4X0２+1X２+1X2２+3X3２+3X4２≈0∴IRRＢ=1/X k-１=1/X２-１=27.3%（IRRＡ=23.67%和IRRＢ=27.3%经检验均为真，过程此处从略，但是学生的相应内容不能省略）∵IRRＢ>IRRＡ∴方案Ｂ优用NPV判断是方案Ａ为优．即指标的不相容性．所以要用ΔIRR进行相对性检验．（三）．相对性检验１．令Ａ－Ｂ：（见表３中第四行数据）２．用0.816法计算ΔIRR（差额内部收益率）取X0=0.816 ∣ε∣=0.01万元NPV0=Σa t X t0=-3X00+1X20+3X30+1X40=0.93<0 ∴X1=0.87865NPV１=Σa t X t１=-3X0１+1X2１+3X3１+1X4１=0.403<0取X２=X１-NPV（X１）（X１-X０）/[NPV（X１）-NPV（X０）]=0.87865-0.403×0.063/（0.403＋0.93）=0.86NPV２=Σa t X t２=-3X0２+1X2２+3X3２+1X4２=0.195>εX３=X２-NPV（X２）（X２-X１）/[NPV（X２）-NPV（X１）]=0.86-0.195×（0.86-0.87865）/（0.195-0.84）=0.8425NPV３=Σa t X t３=-3X0３+1X2３+3X3３+1X4３≈0∴ΔIRR=1/X k-１=1/X３-１=18.69%>i0∵NPVＡ>NPVＢ，ΔIRR=18.69%>i0∴知投资大的方案Ａ为最优．温馨提示：１．本课程设计最终成果，如果不符合本课程设计任务书中提出的格式化要求和学校对于课程设计的相关规定者，其成果不予受理．２．一旦发现有抄袭现象者，取消当事人的本课程设计资格．３．本课程设计成果提交后，有答辩程序．如果就你的成果中提出的三个问题，有两个问题不能正确解答者，当事人的本课程设计成绩一零分计．４．本课程设计成果提交的终止时间为：本学期第八周末．逾期成果不予受理．。