第八讲数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。

精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。

【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。

【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。

【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。

【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。

所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。

【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。

表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。

请将表中其它的数全部填好。

C BA【分析】 由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。

因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。

可得右下图。

【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

这9个数中最多有__________个质数。

【分析】 120:中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。

如果这8个质数都用上，无论另外一个数是奇数还是偶数，根据奇偶性分析，都无法满足题目的要求。

所以8个质数不可能都用上，最多只能用7个。

若用7个，只有用3、5、7、11、13、17、19这7个奇数，再加上两个奇数9和15时，恰好是9个连续奇数，方格表可以填出，如右图。

故这9个数中最多有7个质数。

[前铺] 在右图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。

[分析] 我们知道19:填图的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于15，而本题中的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24，比19:填图的幻方大了24159-=，相当于每个数都大了933÷=，所以只需要把19:填图的幻方中的每个数都加3就可以了。

[前铺] 将1、3、5、7、9、11、13、15、17填入33⨯的方格内，使其构成一个幻方。

[分析] （法1）：中心数为9，然后将其余8个数分为4组，每组两个数的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图。

答案不唯一，仅供参考。

（法2）：其实会学习的小朋友知道利用已经学习过的一些典型题目的结果加以变形得到新题的答案。

事实上我们可以把本题中的幻方看作是19:填图的幻方相应位置的数字乘以2再减1得来的。

推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式。

19171513119753691257108411961357911131517【例5】 在右图所示立方体的八个顶点上标出19:中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k ，并且k 不能被未标出的数整除。

【分析】 标出的八个数之和是每面四个数之和的2倍，是偶数，19:的和为45 ，因此未标出的数是一个奇数，只能是1、3、5、7、9中的一个，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，由于1、3、5、9都不满足这一条件，依此可知未标出的数是7。

下面用余下的8个数填图，每面四个数之和为：(457)219-÷=。

如果已知某一面上四个数的和为19，那么与其平行的面上的四数之和也必为19。

因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可。

下面我们考虑以9为公共顶点的三个面，由于8，9不共面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数之和为10，且每两个面有一个公共顶点，由此试验易得三个面上的数分别为：(6,3,1)，(5,4,1)，(3,2,5)，填图如右下图。

数字谜数字谜，顾名思义就是猜数字，它是与数字有关的一类有趣的数学问题。

【例6】 （湖北省“创新杯”初赛）如右图，加法算式中，七个方格中的数字之和等于__________。

【分析】 由加法算式中的百位要向千位进位知百位的数字和为19，但两个加数的百位之和最大为9918+=，由于十位最多向百位进1，这说明两个加数的百位数字都是9。

同理可知两个加数的十位数字都是9，且个位之和向十位进1，所以这两个加数的个位数字之和为14。

所以七个方格中的数字之和为1941451+⨯+=。

【例7】 （“我爱数学夏令营”）右图加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表示的5位数是__________。

【分析】 两个五位数相加得到一个六位数，由于这两个五位数均小于100000，所以它们的和小于200000，所以图中的“数”小于2，故“数”1=。

由于“我爱夏令营”=“数学夏令营好”-“数学夏令营”9=⨯“数学夏令营”+“好”，所以“我”9=。

而图中加法算式的千位最多向万位进1，所以“学”只能为1或0。

由于“学”与“数”不同，所以“学”不能为1，只能是0。

图中算式可简化为“爱夏令营”+“夏令营”=“夏令营好”，即1000⨯“爱”+“夏令营”+“夏令营”10=⨯“夏令营”+“好”。

得1000⨯“爱”8=⨯“夏令营”+“好”，所以“好”是8的倍98326541499+夏令营数学好+学数营令夏营令夏爱我数。

由于“好”不能是0，所以“好”8=，“夏令营”125=⨯“爱”1-。

由于“爱”、“夏”、“令”、“营”均不能为0、1、8、9，经试验只有当“爱”5=时，“夏令营”624=符合条件。

所以“我爱夏令营”表示的5位数是95624。

[前铺] （“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

“美妙数学花园”代表的6位数最小为__________。

[分析] 本题中4个数的和是一个各个数位上的数字都相同的四位数，由于加法算式中百位上没有进位，所以和的千位上只能是2，因此“好”2=。

要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则“美”、“妙”都要尽可能小。

“美妙”+“数学”+“花园”22222007215=-=，由于“数学”+“花园”最大只能为908076183+++=，所以“美妙”不小于21518332-=。

但是“妙”不能与“好”和“美”相同，所以“美妙”最小为34，此时“数学”最小为85，“花园”为96，所以这个六位数最小为348596。

【例8】（“走进美妙的数学花园”初赛）请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。

【分析】设被乘数为abc，，乘数为2de。

由于20abc⨯=W W，所以5b=，且4c≤（这是因为2c⨯最多向十位进1，而0是一个偶数，从而2c⨯不向十位进位）。

又由57a c d⨯=W W且4c≤知d为奇数（若d为偶数，那么c d⨯的十位数字为7，但4c≤，这是不可能的），那么c d⨯向十位进2，所以d最小为5，又显然d小于7（若d大于等于7，那么5a c d⨯将是四位数），于是5d=。

这时c只能为4，a只能为1。

所以154abc=。

再由1540e⨯=W W知e只能为2。

所以这个乘法算式的被乘数与乘数分别为154和522，乘法竖式如图所示。

【例9】（香港圣公会数学竞赛）在右图中的除法算式中，只知好好好好+园花学数妙美722道2、0两个数字，其余残缺的数字都用□表示。

补上残缺的数字后，那么被除数是__________。

【分析】这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1。

而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100991-=，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99102011009899⨯=。

【例10】（北京“数学解题能力展示”读者评选活动决赛）将数字19:填入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立：现在“2”、“4”已经填入，当把其他数字都填入后，算式中唯一的减数（●处）是__________。

【分析】首先可以估算四位数的取值范围。

四位数不大于(2007913)428010+-⨯-=，不小于(2007198)427638+-⨯-=，所以四位数的首位数字只能是7。

再由四位数与2的和能被4整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是6或8。

若为6，那么四位数与2的和的个位数字为8，所以十位数字必须为偶数，只能是8。

这个四位数要大于7638，只能是7986，而(79862)41997+÷=，与2007相差10。

但此时剩下的三个数字为1、3、5，无法用这三个数字凑出10。

所以四位数的个位数字不能是6。

四位数的个位数字是8时，十位数字为奇数，只能是1、3、5或9。

当四位数的十位数字为1时，四位数只能是7918，而(79182)41980+÷=，与2007相差27。

但剩下的三个数字3、5、6不能凑出27；当四位数的十位数字为3时，四位数只能是7938，而(79382)41985+÷=，与2007相差22。

但剩下的三个数字1、5、6不能凑出22；当四位数的十位数字为5时，四位数可能是7658或7958。

若为7958，则由(79582)41990+÷=，与2007相差17，但剩下的三个数字1、3、6不能凑出17；若为7658，有(76582)49312007+÷+-=；当四位数的十位数字为9时，四位数只能是7698，而(76982)41925+÷=，与2007相差82。

但剩下的三个数字1、3、5不能凑出82。

综上可知本题只有唯一答案(76582)49312007+÷+-=。