3.2.1 对数及其运算(二)【学习要求】1.加深对数的概念;2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式;3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【学法指导】通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M .2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a(或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？探究点一 积、商、幂的对数问题1 指数的运算法则有哪些？答：a m ·a n ＝a m ＋n ;a m ÷a n ＝a m －n ;(a m )n ＝a mn ;m a n ＝a n m. 问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？答：指数式与对数式的互化公式为:a b ＝N ⇔log a N ＝b.问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？(1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ;(2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN).解：(1)由log a 2＝m,得a m ＝2,由log a 3＝n,得a n ＝3,所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝2×3＝6,即a m ＋n ＝6.(2)由log a M ＝m,得a m ＝M,由log a N ＝n,得a n ＝N.所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M×N,把指数式化为对数式得:log a (MN)＝m ＋n.小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到log a (MN)＝m ＋n,又由log a M ＝m,log a N ＝n,进行m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即:log a (MN)＝log a M ＋log a N.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:log a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k .问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？答:令M ＝a m ,N ＝a n ,则M N＝a m ÷a n ＝a m －n , ∴m －n ＝log a M N.又由M ＝a m ,N ＝a n , ∴m ＝log a M,n ＝log a N,即:log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N; 当n≠0时,令log a M ＝p,由对数定义可以得M ＝a p ,∴M n ＝(a p )n ＝a np ,∴log a M n ＝np,将log a M ＝p 代入,即证得log a M n ＝nlog a M.当n ＝0时,显然成立.∴log a M n ＝nlog a M.小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”.有时用逆向运算性质:如log 105＋log 102＝log 1010＝1.例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z . 解:(1)log a xy z＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z;(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y;(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a x －(log a y ＋log a z)＝12log a x －log a y －log a z; (4)log a x 2y 3z ＝log a (x 2y)－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z. 小结:真数的取值范围是(0,＋∞),log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)不成立,log 10(－10)2＝2log 10(－10)也不成立.要特别注意log a (MN)≠log a M·log a N,log a (M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练1计算:(1)lg 5100; (2)log 2(47×25); (3)lg 4＋lg 25; (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.解:(1)lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25; (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19;(3)lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2;(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.探究点二 换底公式与自然对数导引 在实际应用中,常常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数呢？如何求log 35?问题1:假设log 25log 23＝x,则log 25＝xlog 23,即log 25＝log 23x ,从而有3x ＝5,进一步可得到什么结论？ 答:把3x ＝5化为对数式为:log 35＝x,又因x ＝log 25log 23,所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 问题2 如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,那么log c b log c a与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 答:结论为log c b log c a＝log a b. 证明如下:令log c b log c a ＝x ⇒log c b ＝xlog c a ⇒log c b ＝log c a x ⇒b ＝a x ⇒x ＝log a b ⇒log c b log c a＝log a b. 小结:(1)log a b ＝log c b log c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)叫做换底公式. (2)由换底公式可得两个结论:①log a b n ＝n m log a b; ②log a b ＝1log b a(或log a b·log b a ＝1). 问题3:什么叫做自然对数？自然对数如何表示？答:以e ＝2.718 28…为底的对数叫做自然对数.记作ln N. 例2 已知log 23＝a,log 37＝b,用a,b 表示log 4256.解:因为log 23＝a,则1a＝log 32, 又∵log 37＝b,∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 小结:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底. 跟踪训练2 求log 89·log 2732的值. 解:log 89·log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝23×53＝109. 例3 计算下列各式的值:(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245; (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解:(1)方法一原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 2＋lg(72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.方法二:原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.小结:这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值. 跟踪训练3 (1)已知lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1,求lg 45;(2)已知lg x ＝2lg a ＋3lg b －5lg c,求x.解： (1)lg 45＝12 lg 45＝12lg 902＝12[lg 9＋lg 10－lg 2]＝12[2lg 3＋1－lg 2]＝lg 3＋12－12lg 2＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6;(2)由已知得:lg x ＝lg a 2＋lg b 3－lg c 5＝lg a 2b 3c 5,∴x ＝a 2b 3c 5.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.log a x·log a y ＝log a (x ＋y)B.(log a x)n ＝nlog a xC .log a x n ＝log a nxD.log a xlog a y ＝log a x －log a y解析：因log a x n ＝1n log a x ＝log a x ＝log a nx,所以选C.2.log 327＋lg 25＋lg 4＋7＋(－9.8)0＝__________.解析：原式＝12log 333＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.3.求证:(1)log x ylog y z ＝log x z;(2)log a b n ＝log a b.证明：(1)因为log x ylog y z ＝log x y log xzlog x y ＝log x z,所以log x ylog y z ＝log x z.(2)log a b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a bnlog a a ＝log a b.课堂小结：1.对数的运算法则:如果a>0,a≠1,M>0,N>0有:(1)log a (MN)＝log a M ＋log a N(2)log a M N ＝log a M －log a N(3)log a M n ＝nlog a M (n ∈R)2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b ＝log c blog c a (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0).。