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2016年中考压轴题专题:与圆有关的最值问题(附答案)
2
例四、柯西不等式、配方法
1.如图,已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A,点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点,过
点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 C,PC 与⊙O 交于点 D,连接 PA、PB,设 PC 的长为 x(2<x<
4),则当 x=
时,PD•CD 的值最大,且最大值是为 .
.
3.如图,⊙M,⊙N 的半径分别为 2cm,4cm,圆心距 MN=10cm.P 为⊙M 上的任意一点,Q 为⊙
N 上的任意一点,直线 PQ 与连心线 l 所夹的锐角度数为 ,当 P、Q 在两圆上任意运动时,
tan 的最大值为(
6 ).(A) ;
12
4 (B) ;
3
3 (C) ;
3
3 (D)
心,PA 长为半径的⊙P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点,连接 DE,则线段 DE 长度的范围
为
.
A P
Q
C
B
11.在直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,0),点 P( m,n )是第一象限内一点,且 AB=2,
则 m n 的范围为
.
12.在坐标系中,点 A 的坐标为(3,0),点 P 是 y 轴右侧一点,且 AP=2,点 B 上直线 y=x+1
线段 EF 长度的最小值为
.
A F
EO
B
D
C
7.如图,A、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心的坐标为(-1,0),半径为
1,若 D 是⊙C 上的一个动点,线段 DA 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最小值是( ).
A.2
B.1
C. 2 2
D. 2 2
2
5
8.如图,已知 A、B 两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C 的圆心坐标为(0,-1),半径 为 1,D 是⊙C 上的一个动点,射线 AD 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最大值是( ).
过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点.
(1)在点 P 的运动过程中,线段 CD 长度的取值范围为
;
D
(2)在点 P 的运动过程中,线段 AD 长度的最大值为
.
C
A
O
B
例三、正弦定理
P
1.如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB= 2 2 ,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD
与定点之间不变的维系条件,构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能
找到解决问题的突破口!几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持
不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方
法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,
综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的 套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略
1.直观感觉,画出图形; 2.特殊位置,比较结果; 3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量) 之间的关系,建立等式,进行转化.
A.3
B. 11
C. 10
D.4
3
3
9.如图,等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C 的半径为 1,点 P 在斜边 AB 上,PQ
切⊙O 于点 Q,则切线长 PQ 长度的最小值为( ).
A. 7
B. 2 2
C. 3
D.4
10.如图∠BAC=60°,半径长 1 的⊙O 与∠BAC 的两边相切,P 为⊙O 上一动点,以 P 为圆
4
【题型训练】
1.如图,已知直线 l 与⊙O 相离,OA⊥l 于点 A,OA=5,OA 与⊙O 相交于点 P,AB 与⊙O 相
切于点 B,BP 的延长线交直线 l 于点 C,若在⊙O 上存在点 Q,使△QAC 是以 AC 为底边的等
腰三角形,则⊙O 的半径 r 的取值范围为
.
2.已知:如图,RtΔABC 中,∠B=90º,∠A=30º,BC=6cm,点 O 从 A 点出发,沿 AB 以每秒
3 cm 的速度向 B 点方向运动,当点 O 运动了 t 秒(t>0)时,以 O 点为圆心的圆与边 AC 相
切于点 D,与边 AB 相交于 E、F 两点,过 E 作 EG⊥DE 交射线 BC 于 G.
(1)若点 G 在线段 BC 上,则 t 的取值范围是
;
(2)若点 G 在线段 BC 的延长线上,则 t 的取值范围是
例五、其他知识的综合运用 1.(2015•济南)抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)过点 A(1,﹣1),B(5,﹣1),与 y 轴交于 点 C. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,连接 CB,以 CB 为边作▱CBPQ,若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上,Q 为坐 标平面内的一点,且▱CBPQ 的面积为 30,求点 P 的坐标; (3)如图 2,⊙O1 过点 A、B、C 三点,AE 为直径,点 M 为 上的一动点(不与点 A,E 重合),∠MBN 为直角,边 BN 与 ME 的延长线交于 N,求线段 BN 长度的最大值.
再给出证明.
几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角
度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:
1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理(公理)法;3.数形结合法等.
注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点.这是由于这类问题
BC= a ,AC= b ,求 a b 的最大值.
引例 3:如图,∠BAC=60°,半径长为 1 的圆 O 与∠BAC 的两边相切,P 为圆 O 上一动点,
以 P 为圆心,PA 长为半径的圆 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点,连接 DE,则线段 DE
长度的最大值为( ).
A.3
B.6
33 C.
2
D. 3 3
O
C
A DB
一、题目分析: 此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本
技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接 1.引例 1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点 C 与两个定点 O、A 构成夹角的
变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化 (增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;
在第一象限内,过点 P 作⊙O 的切线与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,线段 AB 长度的
最小值是
.
例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 CD 的垂线
交直线 BC 于点 E,则线段 CE 长度的最小值是
.A
D
C
O
EB
2.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作⊙
O,若⊙O 与边 BC 始终有交点(包括 B、C 两点),则线段 AO 的取值范围是 . A
O
3
C B
3.如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切⊙O 于点 Q,则 PQ 的最小值为( )A. B. C.3 D.2
为直径作⊙O 分别交 AB,AC 于 E,F 两点,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值
为
.
2. 如图,定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动(点 C、D 与点 A、B 不重合),M 是 CD 的中 点,过点 C 作 CP⊥AB 于点 P,若 CD=3,AB=8,则 PM 长度的最大值是 .
4
Q
P
C
P
A
D
P
M
N
l
O
Q
A
D
B
B
C
4.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,O 为矩形 ABCD 的中心,以 D 为圆心 1 为半径作⊙
D,P 为⊙D 上的一个动点,连接 AP、OP,则△AOP 面积的最大值为( ).
21
35
(A)4
(B)
(C)
5
8
17 (D)
4
5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA 、CB
2.如图,线段 AB=4,C 为线段 AB 上的一个动点,以 AC、BC 为边作等边△ACD 和等边△
BCE,⊙O 外接于△CDE,则⊙O 半径的最小值为( ).
23
32
A.4
B.
C.
D. 2
E
3
2
D
O
A
C
B
3.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为圆心,2 为半径画⊙O,P 是⊙O 上一动点,且 P
2.(2013 秋•相城区校级期末)如图,已知 A、B 是⊙O 与 x 轴的两个交点,⊙O 的半径为 1,P 是该圆上第一象限内的一个动点,直线 PA、PB 分别交直线 x=2 于 C、D 两点,E 为 线段 CD 的中点. (1)判断直线 PE 与⊙O 的位置关系并说明理由; (2)求线段 CD 长的最小值; (3)若 E 点的纵坐标为 m,则 m 的范围为 .
与圆有关的最值(取值范围)问题
引例 1:在坐标系中,点 A 的坐标为(3,0),点 B 为 y 轴正半轴上的一点,点 C 是第一象限
内一点,且 AC=2.设 tan∠BOC=m,则 m 的取值范围是_________.