2017年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解2017年9月2日 （一）填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）（1）已知复数12,z z 满足22121220,16z z z z +=+=，则3312z z +的最小值是________________________．解析：由已知得：()()2332222121212*********z z z z z z z z z z z z +=++-=+-+()222222121212121031033520z z z z z z z z ≥+-+=+-+=，当且仅当22121220,16z z z z +=+=，即12,10z =±时等号成立，故3312z z +的最小值是3520．（2）已知集合{}1,99,1,0,25,36,91,19,2,11M =----，记集合M 的所有非空子集为i M ，()1,2,,1023i =，每一个i M 中所有元素之积为i m ，则10231i i m ==∑_______________________________________________．解析：由于(){}1,2,,i M a i n ==时，()211111n ni i i i m a -===+-∑∏，故102311i i m ==-∑．（3）在棱长为1的正方体C 内，作一个内切大球1O ，再作一个小球2O ，使它与球1O 外切，且与正方体的三个面相切，则球2O 的表面积为_______________________________________________．解析：作对角截面图得到矩形11BB D D ，依题意知1O 、2O 都在线段1BD 上，且1O 是1BD 的中点， 设球1O 、2O 的半径分别为12,r r ， 则112r =，11O D = 由112112O D OD r r =得：212O D =，∴11221O D r r =++= ∴2r =(27S π=-． DD 1（4）设n abc =是一个三位数，其中以,,a b c 为边可构成一个等腰三角形， 则这样的三位数有_______________________________________________个．解析：当a b c ==时，有9种情形； 不是等边的等腰三角形情形，不妨设a b =， 当5a b =≥时，c 有8种情形，共有40种情形； 当4a b ==时，c 有6种情形； 当3a b ==时，c 有4种情形； 当2a b ==时，c 有2种情形；综上，共有()4064239165+++⨯+=种情形．（5）已知非负实数,,a b c 满足8,16a b c ab bc ca ++=++=， 若{}min ,,m ab bc ca =，则m 的最大值是_______________________________________________．解析：不妨设a b c ≤≤，则,ab ca bc m ab ≤≤=，8383c a b c c ≥++=⇒≥， 又()()()()222484160a b a b ab c bc ca -=+-=----≥， 即()()()()2841681630c c c c c ----=-≥，故81633c ≤≤， ∴()()2161616849ab ca bc c c c =--=--=-≤， 当且仅当416,33a b c ===时等号成立， 因此m 的最大值是169． （6）已知三次多项式()32p x ax bx cx d =+++满足()111000022p p p ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设123,,x x x 是方程()0p x =的3个根，则122313111x x x x x x ++= _______________________________________________． 解析：由已知得：12100019962bb d d d+=⇒=， 由根与系数的关系可得：123123,b d x x x x x x a a++=-=-， ∴1231223131231111996x x x bx x x x x x x x x d++++===．（7）函数())02f x x π=≤≤的值域为_______________________________________________．解析：令1sin ,1cos x a x b -=-=， 则()()())220,1,111f x a b a b ==≤≤-+-=，故点(),P a b 在圆()()22111x y -+-=上，设直线OP 的倾斜角为θ，则02πθ≤≤，于是()[]cos 1,0f x θ=-∈-．（8）设I 为△ABC 的内心，且3450IA IB IC ++=， 则角C ＝_______________________________________________．解析：作1113,4,5IA IA IB IB IC IC ===， 则点I 是111A B C △的重心， ∴11111111113IA B IB C IA C A B C S S S S ∆∆∆∆===， ∴111111111111,,366045IAB A B C IBC A B C ICA A B C S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===， ∴111::::::3:4:5604536IBC ICA IAB a b c S S S ∆∆∆===， ∴222a b c +=，∴2C π=．（9）已知正数,,x y z 满足2222221,2,3x y xy y z yz z x zx ++=++=++=， 则x y z ++=_______________________________________________．解析：作,,FA x FB y FC z ===， 且FA 、FB 、FC 两两夹角为120°， 那么点F 是△ABC 的费马点，于是1AB ==，BC ==CA ==在△ABC 外作等边△BCD ，在DF 上取一点E 使得△CEF 是等边三角形，C 1B 1C那么△BFC ≌△DEC ，∴x y z ++=AD ， 在△ABD中运用余弦定理得：AD =（10）在一个边长为a 的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置，喷水装置都可以90°旋转喷水，每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边，其有效射程均为a ，则草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为________________________．解析：如图所示，即求曲边四边形EFGH 占正方形ABCD 的面积的比例． 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴， BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 那么弧AEHC 所在圆的方程为222x y a +=， 弧BFED 所在圆的方程为()222x a y a -+=，联立解得：2a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得：,,,,222a a a G F H ⎛⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 作EK ⊥CD 于K ，则∠DCE ＝∠ECF ＝∠FCB ＝30°，CE ＝CF ＝a ， ∴20211sin3024CEF S a a ∆==，2212612CEF S a aππ==扇形，(222222222EFGHa a S a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形，∴()2413CEF EFGH CEF EFGH S S S S a π∆⎛=+-=+-⎝正方形扇形凸曲边四边形， 因此草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为13π+．法二：依对称性知，△BCE 是等边三角形， 作EK ⊥CD 于K ，则12EK a =，∴∠ECD ＝30°， 同理∠BCF ＝30°，从而∠ECF ＝30°， ∴20211sin3024CEFS a a ∆==， 2212612CEFS a a ππ==扇形，D C(222222EFGH a a S a ⎛⎫⎫=-+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭正方形，∴()2413CEF EFGH CEF EFGH S S S S a π∆⎛=+-=+-⎝正方形扇形凸曲边四边形，因此草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为13π+．（二）解答题（本大题共4个小题，前两题各15分，后两题各20分，共70分） （11）（本小题满分15分）已知实数(),1,x y ∈+∞，且210xy x y --+=， 求2232x y +的最小值． 解析：由已知得：121y x =+-，于是22223312221x y x x ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭，记()2231221f x x x ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，则()()211'32211f x x x x -⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭- ()()()()()()()3333331423214261611x x x x x x x x x --+----+--==--()()()()()()323321426211x x x x x x x ----+--+=-()()()()()()()()32233233312312111x x x x x x x x x x x --+---++-==--， ∴当12x <<时，()'0f x <；当2x >时，()'0f x ≥；当2x =时，()'0f x =； ∴()f x 在()1,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数，∴()()min 215f x f ==． 法二：令1,2x m y n -=-=，则()()121,0,0mn x y m n =--=>>，于是()222222331314312342222x y m m m m m m ⎛⎫+=+++=+++++ ⎪⎝⎭222111*********m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当1m =时，即2,3x y ==时等号成立， 因此2232x y +的最小值是15． （12）（本小题满分15分）已知正实数数列{}n a 满足：()2221123*n n a a a a n N +=-∈，且(11*2a N +∈， 求证：(121*2n n a a a a N +∈．解析：下面用数学归纳法证明．当1n =时，由已知得(11*2a N +∈，结论显然成立； 假设当n k =时，结论成立，即(121*2k k a a a a N +∈，记(1212k k t a a a a =+，则*t N ∈，于是得：222211212441k k k a a a a t a a a t +=-++，又2221123k k a aa a +=-，∴212111,3k k a a a t a t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，那么当1n k =+时，(12112k k a a a a a ++()2222121121142k k k k a a a a a a a a ++⎡⎤=+-⎣⎦2222111113342t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦333333311111*22t t t t N t t t ⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢=++=++-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦⎣， 因此当1n k =+时结论成立； 综上所述，对任意的自然数n ，都有(121*2n n a a a a N +∈成立．（13）（本小题满分20分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎝⎭，离心率2e =()()2,0M t t >． ⑴求椭圆的标准方程；⑵求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；⑶设F 是椭圆的右焦点，过点F 作直线OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解析：⑴由已知得：222222221121,2a b e a b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭+===，联立解得：1a b ==，故椭圆方程是2212x y +=．⑵由弦心距公式得：22224542114,29t t t t ⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪+=+⇒==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或舍，故所求圆的方程为()()22125x y -+-=；⑶设()00,N x y ，则()()000020ON MN xx y y t =-+-=， 又()00210OM FN x ty =-+=，以上两式相加得：220020x y +-=，故ON ==（14）（本小题满分20分）求最大的正整数n ，将正整数从1到400任意填入20×20的400个方格中，总有一行或一列中的两数之差不小于n ． 解析：将正方形表格分为20×10的两个矩形表格，然后将1到200依次逐行按照从小到大的顺序填入左侧表格， 同样将201到400依次逐行按照从小到大的顺序填入右侧表格，则在此表格中，每行中两数之差不大于209，每列中两数之差不大于189， ∴209n ≤． 令{}{}1,2,,91,300,301,,400M N ==，易知，若集合M 、N 中各有一个数位于表格的同一行或同一列， 以下不会．。