高中数学人教A 版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训
练 (13)
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1. (提高)已知函数f(x)对任意的实数m ，n ，f(m +n)=f(m)+f(n)，当x >0时，有f(x)>0．
(1)求证：f(0)=0；
(2)求证：f(x)在(−∞,+∞)上为增函数；
(3)若f(1)=1，解不等式f(4x −2x )<2．
2. 已知函数y =f 1(x)，y =f 2(x)，定义函数f(x)={f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)
． (1)设函数f 1(x)=x +3，f 2(x)=x 2−x ，求函数y =f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，g(x)=mx +2(m ∈R)，函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；
(3)设函数f 1(x)=x 2−2，f 2(x)=|x −a|，函数F(x)=f 1(x)+f 2(x)，求函数F(x)的最小值．
3.已知函数f(x2−1)=log m x2
2−x2
(m>0且m≠1)
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若关于x的方程f(x)=1+log m x有解，求m的取值范围．
4.已知g(x)=x2−2ax+1在区间[1,3]上的值域[0,4]．
(1)求a的值；
(2)若不等式g(2x)−k4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若函数y=g(|2x−1|)
|2x−1|+k·2
|2x−1|
−3k有三个零点，求实数k的取值范围．
5.已知a>0，函数f(x)=ax2+2|x−a|．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)存在实数b，使得|f(x)−b|<1对任意的x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对于一切正实数x，y都有f(xy)=f(x)f(y)，当x>1时，
.(1)求证：f(x)>0；
f(x)<1，f(2)=1
9
(2)求证：y=f(x)在(0,+∞)上为单调减函数；
(3)若f(m)=9，试求m的值．
7.已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件：①函数f(x)在D内单调递增
或单调递减；②如果存在区间[a,b]⊆D，使函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b]，那么称y= f(x)，x∈D为闭函数
(1)判断函数f(x)=1+x−x2(x∈(0,+∞))是否为闭函数？并说明理由；
(2)求证：函数y=−x3(x∈[−1,1])为闭函数；
(3)若y=k+√x(k<0)是闭函数，求实数k的取值范围
8.已知函数f(x)=log a(1+x)−log a(1−x)(a>0且a≠1).
(1)判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)求使f(x)>0的x的取值范围；
(3)若g(x)=log a
m
(1−x)|1
2
−x|
,ℎ(x)=f(x)−g(x)，是否存在实数m，使得ℎ(x)有三个不同的零点，
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
9.已知向量a→=(cos3x
2,sin3x
2
)，b→=(cos x
2
,−sin x
2
)，函数f(x)=a→⋅b
→
−m|a→+b
→
|+1，x∈[−π
3
,π
4
]，
m∈R．
(1)当m=0时，求f(π
6
)的值；
(2)若f(x)的最小值为−1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数g(x)=f(x)+24
49m2，x∈[−π
3
,π
4
]有四个不同的零点？若存在，求
出m的取值范围；若不存在，说明理由．
10.已知函数f(x)=log4(mx2−2x+4m)．
(Ⅰ)当m=1时，求函数f(x)在[1
2
,2]上的值域；
(Ⅱ)若函数f(x)在(4,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
11.已知函数f(x)=x2−1
x
(1)求函数y=f(x)的值域；
(2)若不等式x2f(x)+1−kx≥x3在x∈[1
4
,1]上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)当x∈[1
m ,1
n
](m>0,n>0)时，函数g(x)=tf(x)+1(t>0)的值域为[2−3m,2−3n]，求
实数t的取值范围．
12.已知函数f(x)的定义域为[−2,2]且f(x)在区间上[−2,2]是增函数，f(1−m)<f(m)求实数m的
取值范围。

13.设函数f(x)={1
a
x,0≤x≤a
1
1−a
(1−x),a<x≤1
，其中a为常数且a∈(0,1).新定义：若x0满足
f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的回旋点．
(1)当a=1
2时，求f(f(4
5
))的值并判断4
5
是否为回旋点；
(2)求函数y=f(f(x))的解析式，并求出f(x)的回旋点．
14.已知f(x)=e x+m
e x
是偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)解不等式f(2x)≥f(x+1)；
(3)记g(x)=ln{(3−a)[f(x)−e−x]+1}−ln3a−2x，若g(x)≤0对任意的x∈[0,+∞)成立，
求实数a的取值范围．
15.某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S
中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群
体的人均通勤时间(单位：分钟)为f(x)={
30,0<x≤30,
2x+1800
x
−90,30<x<100,而公交群体的人均通勤
时间不受x影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间⋅
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式，讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．。