曲线道路坐标计算§1 曲线要素计算缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。

其曲率半径ρ从直线的曲率半径∞（无穷大）逐渐变化到圆曲线的半径R ，在缓和曲线上任意一点的曲率半径ρ与缓和曲线的长度l 成反比，以公式表示为：l1∝ρ 或 C l =⋅ρ（C 为常数，称曲线半径变更率）。

当o l l =时，R =ρ，应有o l R l C ⋅=⋅=ρ以上几式是缓和曲线必要的前提条件。

在实际应用中，可采取符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线。

常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。

为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线o l ，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p ，因而圆心就由'O 移到O ，而原来的半径R 保持不变，如图。

由图中可看出，缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分，而另一半是靠近原来的圆曲线部分，原来圆曲线的两端其圆心角o β相对应的那部分圆弧，现在由缓和曲线所代替，因而圆曲线只剩下缓圆点(HY )到圆缓点(YH )这段长度即y l 。

o β为缓和曲线的切线角，即缓圆点或圆缓点切线与直缓点或缓直点切线的交角，亦即圆曲线HY→YH 两端各延长2ol 部分所对应的圆心角。

γ为缓和曲线总偏角，即从直缓点(ZH )测设缓圆点(HY )或从缓直点(HZ )测设圆缓点(YH )的偏角。

q 为切线增量(切垂距)，即ZH (或HZ )到从圆心O 向ZH (或HZ )的切线作垂线垂足的距离。

p 为圆曲线内移值，即垂线(从圆心O 向ZH (或HZ )的切线作垂线)长与圆曲线半径R 之差。

§1.1 不等长缓和曲线要素计算：在铁路曲线测设中，线路曲线一般是由相等的两条缓和曲线中间加一个圆曲线构成，有时还会出现由两个不等长的缓和曲线中间加一个圆曲线构成的特殊情况，如图：缓和曲线长分别为1o l 、2o l ， 切线长分别为1T 、2T ，曲线偏角(线路转角)为α，圆曲线半径为R ，圆曲线长为y l ，曲线长为L ，外矢距为E ，切曲差为J ，(缓和曲线后)圆曲线内移值分别为1p 、2p ，(缓和曲线)切线增量分别为1q 、2q ，缓和曲线偏角分别为1o β、2o β ， 回旋线参数分别为121o Rl A =、222o Rl A =各曲线要素计算公式如下：231112402R ll q o o -=232222402Rll q o o -=341211268824R lR l p o o -=342222268824RlR l p o o -=ααsin )(2)(12111p p tgp R q T -+++=ααsin )(2)(21222p p tgp R q T -+++=Rl R l o o o ππβ111901802=⋅=Rl R l o o o ππβ222901802=⋅=︒--++=180)(2121Rl l L o o o o πββα从以上公式可以看出，当21o o l l =时，就是等长(对称)缓和曲线的情况。

§1.2 等长(对称)缓和曲线要素计算：切线增量： 232402Rll q o o -=圆曲线内移值： 342268824Rl R l p oo -= 切线长： 2)(αtgp R q T ++=缓和曲线的切线角：Rl R l oo o ππβ901802=⋅=︒缓和曲线总偏角： Rl ooπβγ303==曲线长： ︒-+=180)2(2Rl L o o πβα ，其中圆曲线长︒-=180)2(Rl o y πβα外矢距： R p R E -+=2sec )(α切曲差： LT J -=2§1.3 缓和曲线各主点桩号计算公式：x ’ y ’αHYYHHZZHOp 2q 1p 1βo Eq 2JT JD l YH HZ l HY YH l HY LZH QZ l ZH HY T JD ZH o yy o-+=+=+=+=+=+=-=22§2 方位角计算§2.1 交点转角角度计算公式: RT1tan2-=α（R 为曲线半径，T 为切线长） §2.2 直线段上任一点的方位角计算公式：xy ∆∆=-1tanα ①Δx >0且Δy >0，则=α；②Δx >0且Δy <0，则=α+360；③Δx <0，则=α+180。

或 y x ∆∆=-1tan α（弧度）→πα180tan 1⋅∆∆=-y x （度） （若Δy >0，则=-α+90；若Δy <0，则=-α+270）(180±90)-α → 180(1±1/2)-α → π(1±1/2)-α（弧度）→ [π(1±1/2)-α]·180/π（度）§2.3 缓和曲线上任一点的方位角计算公式: oZHl R l ⋅⋅∆⋅±=παα290（ZH α为直缓点的方位角）缓和曲线上任一点的切线角：o l R lA l l ⋅∆=∆=∆=222222ρβ（弧度）→oo l R l l R l ⋅⋅∆⋅=⋅⋅∆=ππβ22901802（度） 注：ρ为该点的曲率半径，A 为回旋线参数()l l R A o ∆⋅=⋅=ρ2 公式导证：o l R l d l ld d ⋅∆⋅∆=∆=ρβ （已知 ll R o∆⋅=ρ） oo lolo l l R l l l R l d l l R l R l d l d ⋅∆=∆⋅⋅=∆⋅∆⋅=⋅∆⋅∆==⎰⎰⎰∆∆∆2211220ββ或 πβoo o l R l 18022⋅⋅∆= 当o l l =∆时，o ββ=， 即Rl R l oo o o ππβ901802=⋅=§2.4圆曲线上任一点的方位角计算公式: RlHY ⋅∆⋅±=παα180（HY α为缓圆点的方位角）其中，Rl R l o ⋅∆⋅=⋅∆=ππβ180180 为该点的切线角（缓圆点切线与该点切线的交角，即ΔL 所对应的圆心角）。

2901802βππγ=⋅∆⋅=⋅∆=R l R l o 为该点的弦切角（也叫偏角，即缓圆点到该点的弦与缓圆点的切线所夹的角。

弦切角等于弦所对应的圆心角之半，也就是切线角的一半）。

注：Δl 为曲线长度：计算点位到起算点(主点：ZH 、HY 、YH 、HZ )的长度。

第3、4中，以计算方向为准，左偏取"﹣"，右偏取"﹢"（左负右正）。

§3 坐标值计算§3.1 直线段上任一点的坐标值计算公式：直线两端点A 、B 间距离为S ，A 点坐标为()A A Y X ，，方位角为α，则有：⎩⎨⎧⋅+=⋅+=ααsin cos S Y Y S X X A BA B★ 坐标转换大地坐标系(北京54坐标系)与工程坐标系转换：大地坐标：⎩⎨⎧++=-+=ααααcos sin sin cos B A y Y B A x X o o工程坐标：()()()()⎩⎨⎧---=-+-=ααααsin cos sin cos o o o o x X y Y B y Y x X AO(x o , y o )为工程坐标系原点的北京54坐标值，X 、Y 为北京54坐标值，A 、B 为工程坐标值，α为工程坐标系与北京54坐标系X 轴的夹角，即大地坐标系方位角。

§3.2 缓和曲线上任一点的坐标值计算公式：ααsin 35300966409676800422403366cos 175472640599040345640991977155511337388176613449225⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆+⋅∆-⋅∆+⋅∆-⋅∆⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆+⋅∆-⋅∆+⋅∆-∆+=o o o o o o o o o ZH l R l l R l l R l l R l l R l l R l l R l l R l l R l l X X ααcos 35300966409676800422403366sin 175472640599040345640991977155511337388176613449225⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆+⋅∆-⋅∆+⋅∆-⋅∆±⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆+⋅∆-⋅∆+⋅∆-∆+=o o o o o o o o o ZH l R l l R l l R l l R l l R l l R l l R l l R l l R l l Y Y左偏：⎩⎨⎧⋅-⋅+=⋅+⋅+=ααααcos sin sin cos E N Y Y E N X X ZH ZH 右偏：⎩⎨⎧⋅+⋅+=⋅-⋅+=ααααcos sin sin cos E N Y Y E N X X ZH ZH （N 、E 为坐标增量）（左加减，右减加）说明：ZH X 为直缓点X 坐标值，ZH Y 为直缓点Y 坐标值，o l 为缓和曲线长度，α为起算点(ZH 或HZ )的方位角，R 为曲线半径，l ∆为计算点位到起算点的长度。

注：第一段缓和曲线从直缓点计算到缓圆点(ZH → HY )，第二段缓和曲线从缓直点计算到圆缓点(HZ → YH )，与第一段计算方向相反，即"±" 相反；且方位角应="α+180"。

§3.3 圆曲线上任一点的坐标值计算公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅⋅+=2sin 2sin 22cos 2sin 2βαββαβHY HYHY HY R Y Y R X X 注：以计算方向为准，左偏取"﹣"；右偏取"﹢"（左负右正）。

式中，弦长2sin2βR d = （缓圆点到计算点的弦的长度）；弦切角Rl22∆==βγ (弧度)（弦所对应的圆心角，也就是切线角θ的一半）；方位角2βαα±=HY （缓圆点到计算点沿弦方向的方位角）。

说明：HY X 为缓圆点X 坐标值，HY Y 为缓圆点Y 坐标值，αHY 为缓圆点的方位角，R 为曲线半径，β为计算点的切线角，l ∆为计算点位到起算点(HY )的长度。

§3.4边桩坐标值计算公式：⎩⎨⎧±⋅+=±⋅+=)90sin()90cos(ααS Y Y S X X z b z b 在有缓和曲线的圆曲线中圆心O 的坐标是一个非常重要的数据。

X o =X jd +(R+E)cos T jd-o Y o =Y jd +(R+E)sin T jd-o★Excel计算公式：☆1 方位角计算公式☆1.1 直线段上任一点的方位角: =(PI()*(1-SIGN(ΔY)/2)-ATAN((ΔX)/(ΔY)))*180/PI()☆1.2 缓和曲线上任一点的方位角: =αZH -SIGN(±1)*90*(L-L ZH)^2/(PI()*R* L H)☆1.3 圆曲线上任一点的方位角: =αHY -SIGN(±1)*180*( L-L HY)/(PI()*R)☆2 坐标值计算公式☆2.1 直线段上任一点的坐标值: X= X o+(ΔS)*COS(RADIANS(α))Y=Y o+(ΔS)*SIN(RADIANS(α))☆2.2 缓和曲线上任一点的坐标值X=X ZH+(( L-L ZH)-( L-L ZH)^5/(40*R^2* L H ^2)+( L-L ZH)^9/(3456*R^4* L H ^4)-( L-L ZH)^13/(599040*R^6* L H ^6)+( L-L ZH)^17/(175472640*R^8* L H^8))*COS(RADIANS(α))+SIGN(±1)*(( L-L ZH)^3/(6*R* L H)-( L-L ZH)^7/(336*R^3* L H ^3)+( L-L ZH)^11/(42240*R^5* L H ^5)-( L-L ZH)^15/(9676800*R^7* L H^7)+( L-L ZH)^19/(3530096640*R^9* L H ^9))*SIN(RADIANS(αZH))Y=Y ZH+(( L-L ZH)-( L-L ZH)^5/(40*R^2* L H ^2)+( L-L ZH)^9/(3456*R^4* L H ^4)-( L-L ZH)^13/(599040*R^6* L H ^6)+( L-L ZH)^17/(175472640*R^8* L H ^8))* SIN(RADIANS(α))-SIGN(±1)*(( L-L ZH)^3/(6*R* L H)-( L-L ZH)^7/(336*R^3* L H ^3)+( L-L ZH)^11/(42240*R^5* L H ^5)-( L-L ZH)^15/(9676800*R^7* L H^7)+( L-L ZH)^19/(3530096640*R^9* L H ^9))*COS(RADIANS(αZH))☆2.3圆曲线上任一点的坐标值X=X HY+2*R*SIN((L-L HY)/(2*R))*COS(RADIANS(α)- SIGN(±1)* (( L-L HY)/(2*R)))Y= Y HY+2*R*SIN((L-L HY) /(2*R))*SIN(RADIANS(α)- SIGN(±1)* (( L-L HY)/(2*R)))注：SIGN(±1)中，左偏用”+1”表示，右偏用”-1”表示。