例1 微分方程221y x y xy '=-+-满足1)0(=y 的特解为 ． 解：222(1)(1)(1)(1)11dy dyy x y x dx x dx y y '=-+⇒=-⇒=-++⎰⎰ 解得 2arctan 2x y x C =-+，由014x y C π==⇒=则方程的特解为2arctan 24x y x π=-+ 或 2tan()24x y x π=-+例2 解微分方程323xxy y y -='． 解：323x xy y y -='即为321y x y y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=⎛⎫- ⎪⎝⎭，为齐次微分方程.令y u y xu y u xu x ''=⇒=⇒=+， 由已知321u y u '=-，整理得211u du dx u x -=， 两边积分得222ln ln ln ln 2ln 22u u y u x C Cy Cy x ⎛⎫-=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭则方程的通解为22ln y Cy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例3 微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为 ． 解：原方程整理得1ln xy y x x'+=，为一阶线性非齐次微分方程. 由通解公式得11ln 1ln ln 1dx dxx x x C y e e dx C xdx C x x xx -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 由1)1(=y 解得2C =，所以微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为2ln 1.y x x=-+例4 微分方程31yxy y +='的通解为 ． 解：33dxdx xy y yx y dydy=+⇒-=， 通解为2223222232y y y ydyydye y e dy C Ce y x e y e dy C --⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎦=-⎣-⎰⎰=+=⎰⎰例5 解微分方程y x y y x 24=-'． ……① 解 原方程可化为y x y x y =⋅-'4 （21=α的贝努里方程），即 x y x y y=⋅-'41 ……②作换元y u =，则yy dx du 2'=，②可化为22xu x dx du =-（一阶线性非齐次方程） ……③ 由常数变易法可得③的通解为：)2ln (2xC x u +=， 故原方程通解为)2ln (2xC x y +=．例6 已知函数(),()f x g x 满足xe x g xf x f xg x g x f 2)()(),()(),()(=+='='，且()00f =，求)()()(x g x f x F =所满足的一阶微分方程，并求)(x F 的表达式．解：(1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F ex-=,可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为2()2()4(0)0xF x F x e F '⎧+=⎨=⎩．(2) 由通解公式有]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C . 于是22()x x F x e e -=-．练习11.解微分方程xy y y x 2='+'． （答案：C x x y +-=)arctan (2）=，两边积分=,解得C x x y +-=)arctan (2.（其中()2222=2=2-arctan 111tt t dxtdt dt t t C C x t t =⋅+++++⎰⎰⎰2.解微分方程0)sin 2()cos (2=-+-dy x xy dx x y y ． 解：2()cos ,()2sin P x y y x Q x xy x =-=-，由于()()2cos P x Q x y x y x∂∂=-=∂∂在全平面上恒成立，故微分方程为全微分方程. 原方程整理得22cos sin 0y dx xydy y xdx xdy +--=， 即22sin sin 0y dx xdy yd x xdy +--=，即222()(sin )0(sin )0sin d xy d y x d xy y x xy y x C -=⇒-=⇒-=. 故方程的通解为2sin xy y x C -=例7 解微分方程022=+'+''y y y ．解：022=+'+''y y y 的特征方程为21,22201r r r i ++=⇒=-±则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+例8 解微分方程(4)250y y y '''''-+=．解：(4)250y y y '''''-+=的特征方程为4321,23,42500,12r r r r r i -+=⇒==±则方程的通解为1234(cos2sin 2)x y C C x e C x C x =+++练习21.微分方程02=+'+''y y y 的通解为________=y ． 解：02=+'+''y y y 的特征方程为21,22101,r r r ++=⇒=- 故微分方程02=+'+''y y y 的通解为12()x y e C C x -=+2.微分方程0y y y y ''''''-+-=的通解为_______=y ．解：0y y y y ''''''-+-=的特征方程为3212,3101,r r r r r i -+-=⇒==±， 故微分方程0y y y y ''''''-+-=的通解为123cos sin x y C e C x C x =++．例9 用待定系数法应设的特解形式：（1）若x xe y y y =+'+''2，则____________*=y ； 解：20y y y '''++=的特征方程为21,22101r r r ++=⇒=-由于1λ=-是特征重根，故可设原方程的一个特解为*2()x y x ax b e =+（2）若2+4cos y y x x x ''+=+，则____________*=y ． 解：0y y ''+=的特征方程为21,210r r i +=⇒=±，由于0λ=不是特征根，故可设方程2y y x x ''+=+的一个特解为*21y ax bx c =++； 由于i λ=±是特征根，故可设方程4cos y y x ''+=的一个特解为*2(sin cos )y x A x B x =+， 故原方程的一个特解为*2(sin cos )y ax bx c x A x B x =++++.例10 微分方程24x y y e ''-=的通解为 ． 解：40y y ''-=的特征方程为21,2402r r -=⇒=±，则齐次方程的通解为 2212x x Y C e C e -=+，由于2λ=是特征单根，故可设原方程的一个特解为*2x y xAe =， 将*2x y xAe =代入原方程，解得*21144xA y xe =⇒=， 则原方程的通解为*2221214xx x y Y y C e C e xe -=+=++例11 解方程2sin y a y x ''+=)0(>a ．解：220i +=⇒=±r a r a ，而 i iλω±=±①若1a≠， 设特解为*cos sin =+y A x B x，代入方程解得 210,1==-A B a ， 所以特解为：*21sin 1=-y x a ， 则通解为122cos sin 1sin 1y C ax C ax x a =++- ②若1a =，设特解为[]*cos sin =+y x A x B x ，代入方程解得 102,=-=A B ，所以特解为：*1cos 2=-y x则通解为121cos sin cos 2y C x C x x x =+-练习31.微分方程x xe y y y -=+'+''2的一个特解____________*=y ．（答案：xe x -361（不唯一）） 解：20y y y '''++=的特征方程为21,22101r r r ++=⇒=-由于1λ=-是特征重根，故可设原方程的一个特解为*2()x y x ax b e -=+， 代入原方程解得1,06a b ==， 故特解为*316x y x e -=2.用待定系数法确定sin y y x x ''-=+的特解形式为____________*=y ． 解：0y y ''-=的特征方程为212101,1r r r -=⇒==-,由于0λ=不是方程y y x ''-=的特征根，故可设方程y y x ''-=的特解为*1y ax b =+， 由于i λ=±不是方程sin y y x ''-=特征根，故可设方程sin y y x ''-=的特解为*2sin cos y c x d x =+，则原方程的一个特解形式为***12sin cos y y y ax b c x d x =+=+++.例12 函数x x xxe e C e C y --++=21满足的一个二阶线性常系数非齐次微分方程是 ．解：由已知得121,1r r ==-为所求二阶线性常系数齐次微分方程的两个特征根，即有2(1)(1)010r r r -+=⇒-=故可设所求二阶线性常系数齐次微分方程为0.y y ''-= 设所求二阶线性常系数非齐次微分方程为()y y f x ''-=，将特解*x y xe -=代入方程，得()f x =2x e --，所求二阶线性常系数非齐次微分方程为2x y y e -''-=-例13 已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-为某个二阶线性非齐次方程的三个特解，求该方程及其通解．解：132212--⎫-=⎬-=-⇒⎭xx x x y y e y y e e e 均为对应的齐次方程的特解，所以121,2=-=r r 为特征方程的两个根. ()()212020+-=⇒--=r r r r 则对应的齐次方程为 20'''--=y y y设所求非齐次方程为 2()'''--=y y y f x ，把1y 代入方程可得：()(12)=-x f x x e 所以原方程为 2(12)x y y y x e '''--=-. 其通解为 2212x x x x y C e C e xe e -=+++例14 已知微分方程)(2x f y y a y =+'+''的两个特解x e y x sin 21+=，x y sin 2=，求a 、)(x f 及方程的通解．解：122x y y e -=是20y ay y '''++=的解，代入解得3a =-,x y sin 2=是)(2x f y y a y =+'+''的解，代入解得()sin 3cos f x x x =-，则微分方程为32sin 3cos y y y x x '''-+=-，其通解为212sin x x y C e C e x =++.练习41.设()12cos sin xy e C x C x =+为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为 ．【解题思路】 本题已知方程的通解，反求微分方程．一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特征方程，由此可得微分方程．解：1,21r i = 是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有22(1)1220r r r -=-?+=，故220y y y ⅱ -+=为所求二阶常系数齐次线性方程.例15 解微分方程2)1(++='x y y ．解：令1y x u ++=，有1y u ''=-，由已知2y u '=， 故221arctan tan()1duu u dx u x C u x C u '=+⇒=⇒=+⇒=++⎰⎰，方程的通解为1tan()y x x C ++=+例16 利用变量代换cos x t = (0t π<<)化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求满足1x y==，02x y ='=的特解．解：1sin dy dy dt dy y dx dt dx t dt'==⋅=-， 222223111cos sin sin sin sin x t d ydy dy dt d y t dy y dx t dt t dt dx t dtt dt ''''==-=-⋅=⋅-⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入原方程得212120cos sin d yy y C t C t C x C dt+=⇒=+=+由01x y==，02x y ='=，解得122,1C C ==则方程0)1(2=+'-''-y y x y x 的满足01x y==，02x y ='=的特解为2y x =练习51.解微分方程222)()(2y x x y y +=+'． 解：令2222x y u x yy u ''+=⇒+=，代入原方程得2211u u du dx x C u u '=⇒=⇒-=+⎰⎰，则1,u x C=-+ 即方程的通解为221x y x C+=-+2.解微分方程x y y x y y 2tan 212+='．（答案：Cx x y =2sin ） 解：令222y u y xu yy u xu x''=⇒=⇒=+，代入原方程得cos 1tan ln sin ln ln ln sin u xu u du dx u x C Cx u x'=⇒=⇒=+=⎰⎰， 则2sin sin y u Cx Cx x=⇒= 则方程的通解为2sin y Cx x=.例17 解微分方程222420d y dyx x y dx dx++= )0(>x ． 解 换元te x =，则x t ln =，xdx dt 1=， 因为dtdy x dx dt dt dy dx dy 1==， )(11)1()(222dt dy dx d x dt dy x dt dy x dx d dx dy dx d dx y d +-===)(111222222dtdydt y d x dx dt dt y d x dt dy x -=⋅+-=， 即有 dt dy dx dy x =， dtdy dt y d dx y d x -=22222． 原方程可化为：02322=++y dtdydt y d ， 通解为t t e C e C y 221--+=，故原方程通解为221xC x C y +=．练习61.解微分方程12=+'+''y y x y x ．解：换元te x =，则x t ln =，xdx dt 1=， 因为dtdy x dx dt dt dy dx dy 1==， 所以 )(11)1()(222dtdydx d x dt dy x dt dy x dx d dx dy dx d dx y d +-===)(111222222dtdy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x -=⋅+-=，即有 dt dy dx dy x =，dtdy dt y d dx y d x -=22222． 代入原方程可化为：221d yy dt+=，通解为12sin cos 1y C t C t =++．即12sinln cosln 1y C x C x =++例18 微分方程03='+''y y x 的通解为 ． 解 不显含y ． 设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为03=+p dxdpx． 分离变量可得：xdx p dp 3-=， 积分可得1ln ln 3ln C x p +-=，即31xC p =． 由31x C dx dy =积分可得通解为 2212C xC y +-=．注：也可直接分离变量积分两次．例19 微分方程y ''=2)0(,1)0(='=y y 的特解为________．解 不显含x ．设y p '=，则dy dp py =''，原方程化为y dydp p 3=． 分离变量：dy y pdp 3=，积分可得：1232221C y p +=．由2)0(=p ，1)0(=y 可得：01=C ，故432y p =，即432y dxdy=．再分离变量，积分可得：24124C x y +=．由1)0(=y 可得42=C ． 于是，所求特解为1241+=xy 或4)12(+=x y ．例20 解微分方程 2()(1)(1)1y x y y y y ''''⎧+=⎨'==⎩．解 不显含y ．设p y ='，则dxdpy =''， 原方程可化为p p x dx dp =+)(2，即p px dp dx +=． 由常数变易法可得：)(1C p p x +=． 由1)1(=p 可得：01=C ，x p =．积分x dx dy =可得：22332C x y +=．由1)1(=y 可得：312=C ， 故所求特解为313223+=x y ．练习71.解微分方程023='+'+''y y y x ．（答案：21112C x C C y +-±=） 解：令y p '=，则y p '''=，原方程可化为320xp p p '++=，为一阶可分离变量方程.分离变量得211(1)2dp dx p p x =-+，两边积分211(1)2dp dx p p x =-+⎰⎰， 解方程得211ln ln(1)ln ln 22p p x C -+=-+，化简得p =， 其中121C C =.即2y y C '=⇒=.故2y C =为方程的通解，其中12,C C 为任意常数.例21 已知)(x f 为连续函数，且满足积分方程0()sin ()()x f x x x t f t dt =--⎰，试求)(x f ．【解题思路】 先在等式两边对x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数()f x 的微分方程，再求解此微分方程． 解：原方程整理得()sin ()()x xf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边求导()cos ()x f x x f t dt '=-⎰， 再两边求导得 ()sin ()f x x f x ''=--，整理得 ()()sin ,(0)0,(0)1f x f x x f f '''+=-==（初始条件到原方程中找）解得1()sin cos 22xf x x x =+例22 设函数)(x f 在区间),0[+∞上连续，且满足积分方程21()2tD f t f dxdy t π=+⎰⎰，其中222:t y x D t ≤+，试求)(x f ．解：2222011()()()22tttD f t f dxdy t d f r rdr t f r rdr t πθππ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰，两边对x 求导得()()2f t tf t t '=+，即()()2f t tf t t '-=为一阶线性非齐次微分方程.由通解公式可得22()22t tdttdtf t e te dt C Ce -⎡⎤⎰⎰=+=-+⎢⎥⎣⎦，由已知(0)02f C =⇒=，则22()22t f t e =-+. 则22()22x f x e =-+.23 验证幂级数∑∞=02)!2(n nn x 的和函数)(x y 满足微分方程y y =''，且(0)1,(0)0y y '==，并通过解微分初始值问题求)(x y ．【解题思路】 要验证函数()y x 满足方程，只需把它代入方程，求幂级数的和只需解此微分方程．解: ① 因为 2462()1,2!4!6!(2)!nx x x x y x n =++++++3521(),3!5!(21)!n x x x y x x n -'=+++++-2462()1,2!4!6!(2)!nx x x x y x n ''=++++++则y y =''，且(0)1,(0)0y y '==.② 二阶常系数微分方程y y =''相应的特征方程为21,r = 特征根为 1,21r =± 原方程的通解为12.x x y C e C e -=+显然()y x 满足初始条件(0)1,'(0)0==y y ，代入得 121,2C C == 故幂级数的和函数1(()).2xx y e y x e -=+= ().-∞<<+∞x例24 设函数()y x ()0x >二阶可导且0)(>'x y ，1)0(=y ．过曲线上任一点),(y x P 作该曲线的切线及x 轴的垂线．上述两直线与x 轴围成三角形面积记为1S ，区间[]0,x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设212S S -恒为1．求此曲线方程． 解：点(,)P x y 的切线方程为()Yy y X x '-=-⇒yx x y-'切线与轴的交点为A(,0) 由已知1201212()()12x y S S x x y y x dx y ⎡⎤-=⇒⋅--⋅-=⎢⎥'⎣⎦⎰，整理得： 2()1x y y x dx y -='⎰， 两边求导得222()20()(0)1,(0)1x y y y yy y y y e y yy y y '⎧''=''''⋅-⎪-=⇒⇒⎨'⎪'===⎩例25 设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >．已知曲线()y f x =与直线0y =，1x =及x t =（1t >）所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程． 解法1:由题意知 211()()ttf x dx t f x dx ππ=⎰⎰，两边对t 求导得21()()()tf t f x dx tf t =+⎰，代入1t =得(1)1f =或(1)0f =（舍去）．再求导得 )()(2)()(2t f t t f t f t f '+='． 记()f t y =，则 112dt t dy y+=， 其通解为11222()3dydyy y t eedy c y -⎰⎰=+=⎰， 代入1t =，1y =得13c =，从而 23t y =， 故所求曲线方程为23x y =解法2：由题意知 211()()ttf x dx t f x dx ππ=⎰⎰，两边对t 求导得 21()()()tf t f x dx tf t =+⎰，代入1t =得(1)1f =或(1)0f =（舍去）． 再求导得 )()(2)()(2t f t t f t f t f '+='．整理得22dy ydt y t=-．设y u t =，则,dy du u t dt dt =+ 原方程变成 23221du u u t dt u -=-． 分离变量得 211(32)u du dt u u t-=-，即 114()332dt du u u t -+=-， 积分得Ct u u ln )23(ln 312=-- ，即 1233(32)u u Ct ---=． 代入 1,1t u ==得1C =，所以 231(32)u u t-=． 代入y ut =并化简得2(32)1y t y -=，即 23t y =+． 故所求曲线方程为 23x y =+．例26 一个充满气体的气球突然破了一个孔，漏气的速率正比于球内气体的质量，比例系数0k >．设球内原有气体100克，如果孔破后一分钟内还有20克气体，问何时球内剩下1克气体?解：应建立球内气体质量与时间t 的关系式漏气的速率即球内气体质量的变化率，由题意得(0)100dmk m dt m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得 100k tm e -=又ln5(1)20ln5100t m k m e -⋅=⇒=⇒=当1m =时，ln1002.86()ln 5t = 分钟例27 设有一质量为9000kg 的飞机着陆的水平速度为700/km h ， 经测试，减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数6106⨯=k )，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?解：由0dv dv mkv m m v s v c dt ds m F m a ds dv k k -=⋅=⇒⇒=-=⋅⋅=-⇒+⎰⎰合 由0700700700s m m mC s v k k k v ==⇒=⋅⇒=-+⋅当0v =时，69000700700 1.05()610m s k m k =⋅=⋅=⨯练习81. 设函数)(x f 有连续的导函数，2)0(=f ，又对半平面0>x 内任意简单闭曲线L ，均成立0])([)(2422=-+⎰Ldy x x f dx x xyf ，试求)(x f ．（答案：)1(2)(+-=x Ce x f x）解：由已知条件知P Q y x∂∂=∂∂，其中224()=2(),()=()P x xyf x Q x f x x - 即2232()()24xf x f x x x '=⋅-， 即()()2f x f x x '-=，通解为()2(1)x f x Ce x =-+．再由(0)2f =得4C =， 故()42(1)xf x e x =-+．2.设函数)(r f u =，22ln y x r +=满足方程3222222)(1y x y u x u +=∂∂+∂∂，求)(r f ．解：22(),u xf r x x y ∂'=⋅∂+，2222222222()()()u x y x f r f r x x y x y ⎛⎫∂-'''=⋅+⋅ ⎪∂++⎝⎭ 同理 2222222222()()()u y x y f r f r y x y x y ⎛⎫∂-'''=⋅+⋅ ⎪∂++⎝⎭. 代入3222222)(1y x y u x u +=∂∂+∂∂中整理得：()r f r e -''= ，即()r f r e -''=解得21)(C r C e r f r ++=-例28 差分方程t t t y y 321=-+的通解为 ． 解（1）求对应齐次差分方程的通解∵特征方程为02=-r ，特征值为2=r ， ∴对应齐次方程通解为2t t Y C =． （2）求原非齐次差分方程的特解∵3=d 不是特征值，∴用待定系数法求特解时应设*3t t y A =，代入原方程可得1=A ，即t t y 3*=． （3）原非齐次差分方程的通解为23t t t y C =+．例29 差分方程t y y t t 521=-+的通解为 ． 解 由上例知：对应齐次方程通解为2t t Y C =．因为1d =不是特征值，故设特解为*t y at b =+，代入原方程可得5-==b a ，即)1(5*+-=t y t ．于是，原方程通解为25(1)t t y C t =-+．。