在四边形 ABCD 中，∠ D+∠ B=180°，∠ B=90°， ∴ ∠ D=90°， ∵ ∠ DAB=120°，AC 平分∠ DAB， ∴ ∠ DAC=∠ BAC=60°， ∵ ∠ B=90°，
∴ AB＝ 1 AC，同理 AD＝ 1 AC．
2
2
∴ AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以 C 为顶点，AC 为一边作∠ ACE=60°，∠ ACE 的另
【答案】（1）①45°；②BC 的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不 会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点 P 在线段 BC 上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出∠ DAE 度数，在三角形 AFD 中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由 E 为 DF 中 点，得到 P 为 BC 中点，如图 1，连接 BE 交 AF 于点 O，作 EG∥ AD，得 EG∥ BC，得到 AF 垂直平分 BE，进而得到三角形 BOP 与三角形 EOG 全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1，得到 P 为 BC 中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点 P 是线段 BC 上任意一 点时（不与 B，C 重合），∠ AFD 的度数不会发生变化，作 AG⊥DF 于点 G，如图 1（a）所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠ 1+∠ 2 的度数，即为∠ FAG 度数，即可求出∠ F 度数；（3）作出相应图形，如图 2 所示，若点 P 在 BC 边的延长线上 时，∠ AFD 的度数不会发生变化，理由为：作 AG⊥DE 于 G，得∠ DAG=∠ EAG，设 ∠ DAG=∠ EAG=α，根据∠ FAE 为∠ BAE 一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点 P 在线段 BC 上时，∵ ∠ EAP=∠ BAP=30°，∴ ∠ DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ ADE 中，AD=AE，∠ DAE=30°，∴ ∠ ADE=∠ AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在 △ AFD 中，∠ FAD=30°+30°=60°，∠ ADF=75°，∴ ∠ AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点 E 为 DF 的中点时，P 也为 BC 的中点，理由如下：
∴ △ CDA≌ △ CBE， ∴ AD=BE， ∴ AD+AB=AE． 在 Rt△ ACE 中，∠ CAB=45°，
∴ AE＝ AC ＝ 2AC cos45
∴ AD AB＝ 2AC .
2．已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动．
（1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠ BMC=90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠ BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】 试题分析：（1）由 b=2a，点 M 是 AD 的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a，又由四边形 ABCD 是矩形，即可求得∠ AMB=∠ DMC=45°，则可求得∠ BMC=90°； （2）由∠ BMC=90°，易证得△ ABM∽ △ DMC，设 AM=x，根据相似三角形的对应边成比 例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由 b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△ ＞0，即可确定方程有 两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当 b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程 x2﹣bx+a2=0 的根的情况，即可求得答 案． 试题解析：（1）∵ b=2a，点 M 是 AD 的中点， ∴ AB=AM=MD=DC=a， 又∵ 在矩形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90°， ∴ ∠ AMB=∠ DMC=45°， ∴ ∠ BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠ BMC=90°， 则∠ AMB+∠ DMC=90°， 又∵ ∠ AMB+∠ ABM=90°， ∴ ∠ ABM=∠ DMC，
一边交 AB 延长线于点 E，
∵ ∠ BAC=60°， ∴ △ AEC 为等边三角形， ∴ AC=AE=CE， ∵ ∠ D+∠ ABC=180°，∠ DAB=120°， ∴ ∠ DCB=60°， ∴ ∠ DCA=∠ BCE， ∵ ∠ D+∠ ABC=180°，∠ ABC+∠ EBC=180°， ∴ ∠ D=∠ CBE，∵ CA=CE， ∴ △ DAC≌ △ BEC， ∴ AD=BE， ∴ AC=AD+AB．
在△ ADE 中，AD=AE，AG⊥DE，∵ AG 平分∠ DAE，即∠ 2=∠ DAG，且 ∠ 1=∠ BAP，∴ ∠ 1+∠ 2= ×90°=45°，即∠ FAG=45°，则∠ AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图 2 所示，∠ AFE 的大小不会发生变化，∠ AFE=45°，
作 AG⊥DE 于 G，得∠ DAG=∠ EAG，设∠ DAG=∠ EAG=α， ∴ ∠ BAE=90°+2α，∴ ∠ FAE= ∠ BAE=45°+α，∴ ∠ FAG=∠ FAE﹣∠ EAG=45°，在 Rt△ AFG 中， ∠ AFE=90°﹣45°=45°． 考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质. 5．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B、C 重合），连接 DE、点 C 关于直线 DE 的对称点为 C′，连接 AC′并延长交直线 DE 于点 P，F 是 AC′的中点，连接 DF． （1）求∠ FDP 的度数； （2）连接 BP，请用等式表示 AP、BP、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质知，
，
，
，则由
得到
；
（2）由
，可得
，又由
，即可求得 的长，然后在
中，利用勾股定理即可求得 的长，再过点 作
于 ，由角平分线的性
质，可得
，易证得四边形
是矩形，继而可求得答案.
【详解】
（1） 四边形
为矩形，
，
，
又
，
；
（2）
，
，
，
，
在
中，
，
过点 作
于，
，
，
，
，
，
，
、 、 共线，
如图 1，连接 BE 交 AF 于点 O，作 EG∥ AD，得 EG∥ BC，∵ EG∥ AD，
DE=EF，∴ EG= AD=1，∵ AB=AE，∴ 点 A 在线段 BE 的垂直平分线上，同理可得点 P 在线段 BE 的垂直平分线上，∴ AF 垂直平分线段 BE，∴ OB=OE，∵ GE∥ BP，∴ ∠ OBP=∠ OEG， ∠ OPB=∠ OGE，∴ △ BOP≌ △ EOG，∴ BP=EG=1，即 P 为 BC 的中点，∴ ∠ DAF=90°﹣ ∠ BAF，∠ ADF=45°+∠ BAF，∴ ∠ AFD=180°﹣∠ DAF﹣∠ ADF=45°；（2）∠ AFD 的度数不会 发生变化，作 AG⊥DF 于点 G，如图 1（a）所示，
，
四边形
是矩形，
，
. 【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾 股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作 法，注意数形结合思想的应用.
4．操作：如图，边长为 2 的正方形 ABCD，点 P 在射线 BC 上，将△ ABP 沿 AP 向右翻折， 得到△ AEP，DE 所在直线与 AP 所在直线交于点 F． 探究：（1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，①若∠ BAP=30°，求∠ AFE 的度数；②若点 E 恰为线段 DF 的中点时，请通过运算说明点 P 会在线段 BC 的什么位置？并求出此时∠ AFD 的度数． 归纳：（2）若点 P 是线段 BC 上任意一点时（不与 B，C 重合），∠ AFD 的度数是否会发 生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图 2，若点 P 在 BC 边的延长线上时，∠ AFD 的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论．
又∵ ∠ A=∠ D=90°， ∴ △ ABM∽ △ DMC， ∴ AM AB ，
CD DM
设 AM=x，则 x a ， a bx
整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵ b＞2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴ 当 b＞2a 时，存在∠ BMC=90°， （3）不成立． 理由：若∠ BMC=90°， 由（2）可知 x2﹣bx+a2=0， ∵ b＜2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＜0， ∴ 方程没有实数根， ∴ 当 b＜2a 时，不存在∠ BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
△ PAP'是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线 C'G，确定△ ACC′的面积中底边 AC 为定值 2，根据高的大小确定面积的大 小，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，其△ ACC′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 （1）由对称得：CD＝C'D，∠ CDE＝∠ C'DE， 在正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠ ADC＝90°， ∴ AD＝C'D， ∵ F 是 AC'的中点， ∴ DF⊥AC'，∠ ADF＝∠ C'DF，
由.
（3）如图 3，若 DAB 90 ，探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由.
【答案】（1） AC AD AB .证明见解析；（2）成立；（3） AD AB