班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生：上课时间：教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系．反函数知识点总结教案【知识整理】 一．函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为：)(x f y = x ∈D.二．反函数定义一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把x 表示出，得到)(y x ϕ= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ϕ= , x 在D 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ϕ= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1y fx -=反函数)(1y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1x f y -=( x ∈A).注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法：1．求反函数的方法步骤：①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1y f x -= (把x 用y 表示出来)； ③将x , y 互换得： )(1x fy -=，并写出反函数的 定义域2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为D 、值域为A ，则1[()]()f fx x x A -=∈，1[()]()f f x x x D -=∈；函数)(x f y =反函数)(1x f y -=定义域 D A 值 域AD4. 互为反函数的函数图象间的关系一般地，函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称，其增减性相同.释意：如果点(a,b)在函数)(x f y =的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)(1x f y -=的图像上。

换言之，如果函数)(x f y =的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)(1x f y -=的图像上必然有点(b,a).1．求下列函数的反函数： （1）2()(1)f x x x x =+≤-； （2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．2．函数11(,)1ax y x x R ax a-=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a-=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+，由题知：1()()f x fx -=，11(1)1x axa x ax--=++，∴1a =．3．若(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值．解：∵(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴221m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴37m n =-⎧⎨=⎩．4．设函数xx x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+，∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-．解法二：由1(1)y fx -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y fx -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．6．已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数； （3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log xfx k-+>． 解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x x x x x xf x f x ------+-=+=+=++++，即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1xy y y +=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x-+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩，①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．7.已知函数13)(-=xx f 的反函数)(1x f y -=，)13(log )(9+=x x g（１）若)()(1x g x f ≤-，求x 的取值围D ；（２）设函数)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求)(x H 的值域. 解：∵ 13)(-=x x f ，∴ )1(log )(31+=-x x f ．（１）∵)()(1x g x f≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ，∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩ 解之得10≤≤x ∴[]1,0=∈D x ．（２）∵ )(21)()(1x f x g x H --=)1(log 21)13(log 39+-+=x x )1(log )13(log 99+-+=x x 113log 9++=x x ． []1,0∈x 令123113+-=++=x x x t ，显然在[0，1]递增，则有21≤≤t ． ∴2log )(09≤≤x H ，即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．8. 已知函数)(x f y =在其定义域D 是减函数，且存在反函数，求证：)(x f y =的反函数)(1x fy -=在它的定义域E 也是减函数（E 是)(x f y =的值域）．证明：∵)(x f y =在其定义域D 是减函数，∴设D x x ∈21,，且21x x <，有)()(21x f x f >． 令)(),(2211x f y x f y ==，有E y y ∈21,，且21y y >． ∵函数)(x f y =在上D 存在反函数E x x f y ∈=-),(1，∴)(),(212111y fx y fx --==．由题意，)()(21112121y f y f x x y y --<⇔<⇔>，且E y y ∈21,，∴)(1x fy -=在定义域E 是减函数．9.已知函数21()(), 1.1x f x x x -=>+ （1）求()f x 的反函数1()f x -；（2）判定1()f x -在其定义域的单调性；（3）若不等式1(1)()()x f x a a x -->-对11[,]164x ∈恒成立，数a 的取值围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1， ∴0＜y ＜1 ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立. 显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45．【反馈练习】1函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（ D ）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[1,2]a ∈D 、(],1a ∈-∞U [)2,+∞ 2函数)1(12<+=x y x 的反函数是（ A ）A ．)3,1(),1(log 2∈-=x x yB ．)3,1(,log 12∈+-=x x y21,10,x y x>∴=->Q()2110y x x y y=-⇒=+>故所求的反函数是()()110f x x x-=+>1设0,1a a>≠，函数log ay x=的反函数和1logay x=的反函数的图象关于( )()A x轴对称()B y轴对称()C y x=轴对称()D原点对称2已知函数1()()12xf x=+，则1()f x--的图象只可能是（）()A()B()C()D3若函数)(xf的图象上经过点)1,0(-，则函数)4(+xf的反函数的图象上必经过点（ C ）Ａ．)4,1(-Ｂ．)1,4(--Ｃ．)4,1(--Ｄ．)4,1(4已知函数)(xfy=有反函数，则方程axf=)(（a为常数）（ B ）Ａ．有且只有一个实根Ｂ．至多有一个实根Ｃ．至少有一个实根Ｄ．实根的个数无法确定5函数12-=xy（Nx∈）的反函数是（ C ）A．21+=xy（Nx∈）B．21+=xy（Zx∈）C．21+=xy（{}正奇数∈x）D．21-=xy（{}正奇数∈x）6设函数32)(2+-=xxxf，(]1,∞-∈x，则)(1xf-的定义域是（ D ）A．[)+∞,0B．),2(+∞C．(]1,∞-D．[)+∞,27若6y ax=-与13y x b=+的图象关于直线y x=对称，且点(,)b a在指数函数()f x的图象上，则()f x=．8若函数axxxf++=23)(有反函数,则实数a的取值围是_____________．Ra∈且32-≠a.1-xyO2-xyO1xyO1-1-xyO2-教案审核：。