下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的性质；
②由等差数列的性质类比出等比数列的性质；
③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；
④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和
为 180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°.
A．仅①②是
B．仅①②③是
C．仅①②④是
D．①②③④都是
解：第一个图形有 4 根，第 2 个图形有 7 根，第 3 个图形有 10 根，第 4 个图形有 13 根，…，依次成等差数列，所以猜想第 n 个图形有 3n＋1 根．故填 13；3n＋1.
(2)(2015·黑龙江模拟)已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n∈N*)，经计算得 f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72. 据此猜想一个一般性的结论为____________(n∈N*)．
解：由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视 作上一图形顺时针旋转 144°得到的，由第三个图形顺时针旋 转 144°得到的图形应为①.故填①.
类型一 归纳推理
根据下列条件，写出数列中的前 4 项， 并归纳猜想它的一个通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an.
解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属 于合情推理．故选 D.
ห้องสมุดไป่ตู้
(2015·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小 数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题， 推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
解：三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是 三段论，但大前提是特称命题．故选 C.
(2014·课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城 市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由 此可判断乙去过的城市为____________．
3．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 __________到__________的推理． (2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M 是 P. 小前提：S 是 M. 结论：S 是 P.
解：(1)由已知有 a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 由此猜想 an＝2n＋1－1，n∈N*. (2)由已知有 a1＝a，a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa，a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 由此猜想 an＝（n－n－1）（－n－（1n）－a2）a，n∈N*.
第十二章
算法初步、推理与证明
§12.3 合情推理与演绎 推理
1．两种基本的推理 推理一般包括__________和__________两类． 2．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对 象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推 理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特 征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是 由________到________的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、 比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它 们统称为合情推理．
自查自纠
1．合情推理 演绎推理 2．(1)部分 个别 (2)特殊 特殊 (3)归纳 类比 3．(1)一般 特殊 (2)三段论
关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A．归纳推理是由一般到一般的推理 B．归纳推理是由一般到特殊的推理 C．归纳推理的结论一定是正确的 D．归纳推理的结论不一定正确
解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论 未必正确．故选 D.
【点拨】数列的通项公式表示的是数列{an} 的第 n 项 an 与序号 n 之间的对应关系，先根据 已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过 观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想， 这种猜想是否正确还有待严格的证明．
(1)下列由火柴杆拼成的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成：
通过观察可以发现：第 4 个图形中，火柴杆有__________根； 第 n 个图形中，火柴杆有__________根．
解：由题意可判断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多， 而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过 A，C 城市，而乙 “没去过 C 城市”，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去过的 城市为 A.故填 A.
如图是 2015 年武汉东湖灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁 所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 ____________．(填写对应图形的序号)
解：因为 f(22)>42，f(23)>52，f(24)>62，f(25)>72，所以
当 n≥2 时，有 f(2n)>n＋2 2.故填 f(2n)≥n＋2 2.
类型二 类比推理
在△ABC 中，若 AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，则A1D2＝A1B2 ＋A1C2.在四面体 A-BCD 中，若 AB，AC，AD 两两垂直，AH⊥底面 BCD，垂足为 H，则类似的结论是什么？并说明理由．
解：如图，在四面体 A-BCD 中，若 AB，AC，AD 两两垂直，AH⊥底面 BCD， 垂足为 H，则A1H2＝A1B2＋A1C2＋A1D2.
证明如下：连接 BH 并延长交 CD 于 E，连接 AE.