设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的
变分由它们的变分来实现。
δu umδAm
m
δv vm δBm
m
δw wmδCm
m
应变能的变分为
δU
U
(
Am
δAm

U Bm
δBm

U Cm
δCm
)
外力势能的变分为
δV
(Fb xumδAm Fb yvmδBm Fb zwmδCm )d x d y d z
(l1 zx l2 zy l3 y pz )δ w]d S

x
x

yx
y

zx
z

Fb x
δ
u


y
y

xyx
z

zy
x

Fb y
δ
v


z
z

xz
x

yz
y

Fb z
δ
wd
xd
yd
z
虚位移δu，δv，δ内的系数均等于零,
这样我们就得到
及
px= l1σx+l2τyx +l3τzx
py= l1τxy+l2σy+l3τzy
pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
或
Pi = σij lj
而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从
zx,
U 0
z
z
U 0
xy
xy ,
δU 0

U 0
x
δ x
...
U 0
yz
δ
yz
...
xδ x ... yzδ yz
如果将变形余能用应力表示,则可以得到
U0 '
x


x
,
U0 '
y


y
,
U
关于变分概念
微分是变量的增量，变分是函数的增量， 通常用δ表示，具有以下的性质：
δ(u w) δu δw δu δu
x x
δ udS δu d S
根据变形能的表达式
U 0
x
x,
U 0
yz
yz ,
U 0
y
y,
U 0
zx
)(
2 yz


2 zx

2 xy
)
应力用应变表示后，应变再用位移表示，得到变
形能的位移表达式
U E 2(1 )
1 2

u x

v y

w z
2



u x
2



v y
2



w z
2



x
x
δu d
xd
yd
z
其他类似可得
δ U [(l1 x l2 xy l3 zx )δ u (l1 xy l2 y l3 yz )δ v
(l1 zx l2 zy l3 y )δ w]d S

x
x

yx
U
Cm
Fb z wm d x d y d z pz wm d S
上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后， 代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似 解。
变形能的一般位移表达式为
2
U E 2(1 )
1
2

u x

v y

w z

1 2

w y

v z
2


1 2

u z

w x
2


1 2

v x

u y
2

d
x
d
y
d
z
这里 u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z)
他们本身是弹性体各点的函数,U这样的 积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的 积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变 量的值.
1 应变余能与应变能互补 x x U0 U0 '
2 应变余能的积分式 中，积分变量为应力分 σx
量
dσx
3 在线弹性时，应变 余能与应变能相等
O
dεx
εx
应变用应力表示，上式成为
U0

1 2E
[(
2 x

2 y


2 z
)

2
(
y z
z x
x
y)

2(1
δv z
U 0
x
x,
U 0
yz
yz ,
U 0
y
y,
U 0
zx
zx,
U 0
z
z
U 0
xy
xy ,
有U

U 0
x
δ
x
...
U 0
yz
δ

yz
... d
x
d
y
d
z

x
δ x
u

...
yz
δ y
w

δ z
v
... d
xd
y
d
z
其中第一项根据分步积分


x
x
δu
d
x
d
y
d
z


x
(
xδu) d
xd
yd
z


x
x
δu d
xd
yd
z


l1 xδu d S

0 z
'


z
U0 '
yz


yz,
U0 '
zx


zx
,
U0 '
xy


xy,
现在假设位移发生了位移边界条件所容许的微小
位移（虚位移）δu，δv，δw，这时外力在虚位移
上作虚功,虚功应和变形能泛函的增加相等：
δ U δ [ (Fbxu Fb yv Fbzw) d x d y d z
第九章 变分法
真实的位移除了满足位移边界条件外，根 据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平 衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有 在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况 下，只能采用数值计算的方法。
基于能量原理的变分法为数值计算提供了 理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法 等可用于数值计算。
d2w dx 2
2
dx
已知图示悬臂梁,抗弯刚度为EI,求最大挠度值.
解: 设 w (a2 x2 a3x3 )
满足固定端的边界条件.
wx0 0 w'x0 0
下面用最小势能原理来确定参数.
变分方法从能量角度分析，提供了解 决问题的另一种思路，为数值计算奠定了 理论基础。
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。
再以最简单的轴向受压的杆件为例，
总势能包括外力势能和弹性体的变形势
能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 F 参数，随位移增大，弹性体的应变能增
设外力势能为
V (Fbxu Fb yv Fbzw) d x d y d z ( pxu pyv pzw) d S]
可写为
δ(U V ) 0
该式的意义是：在给定的外力作用下， 在满足位移边界条件的各组位移中，实际存 在的一组位移应使总势能为最小。如果考虑 二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平 衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又 称为最小势能原理。
在无穷多组的容许位移中找到这一组， 就必须求解微分方程的边值问题，很可惜， 只有在简单的情况下，才能得到解析解。多 数情况下，只能采用数值计算的方法。
变分法为数值计算提供了理论基础。 其中最小势能原理指出：在无穷多组的容 许位移中，使弹性体总势能为最小的一组 位移，就是我们要找的位移，根据它们求 得的应力还满足应力边界条件和平衡微分 方程。
下面我们证明实际存在的一组使总势能为 最小的位移,根据他们求得的应力满足平衡方 程和应力边界条件。
现在假设位移发生了位移边界条件所
容许的微小位移（虚位移）δu，δv，δw，
应变的变分可记为：
δ x
δu x

δu x
δ yz

δ
w y

v z


δw y
y

zx
z
δ
u


y
y

xyx
z

zy
x
δ
v


z
z

xz
x

yz
y
δ
wd
xd
yd
z
总势能为
δ (U V ) [(l1 x l2 xy l3 zx px )δ u (l1 xy l2 y l3 yz py )δ v
以一维应力状态为例，U0实际是