2. 实数域的位移定理－延时定理
L[ f (t a)] e as F ( s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f (t a) 0, t a
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例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 1 1 1(t ) 1(t T ) T T
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2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
(2-3)
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2.4 拉氏变换的性质
1 j f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e st ds 2j j
1
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
L[sin t ] sin t e st dt
0
1 jt sin t (e e jt ) 2j
s2 2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：
L[cost ]
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cost
1 jt (e e jt ) 2
f (t ) Meat
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（2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
该条件使得积分绝对值收敛。
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L1[ F ( s)]
定义为如下积分：
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
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拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程
G(s) u jv
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G (s) s 2 1 ( 2 2 1) j 2
6
K ( s z1 ) ( s zm ) G( s) ( s p1 ) ( s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
4
引言 复数和复变函数 （3）复变函数的概念
G( s) u(s) jv (s)
s
为自变量。
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例：
s j
s j
u u ( , ) v v( , )
u u ( , ) 2 2 1 v v( , ) 2
拉氏变换
复数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
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引言 复数和复变函数 （1）复数的概念
s j,
1
数。 j
其中， ,
均为实
为虚单位。 （2）复数的表示法 s j, 点表示法 2 2 arctan 向量表示法 s r 三角函数表示法 s r (cos j sin ) j j e cos j sin 指数表示法 s re 2013-12-30
L[e at cos t ]
sa ( s a) 2 2
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2.4 拉氏变换的性质
5. 相似定理（也称尺度定理）
对于任意常数a, 有 1 s L[ f (at )] F ( ) a a (2 - 7)
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2.4 拉氏变换的性质
6. 微分定理
11. f(t)/t的拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ), 则函数f (t ) / t的拉氏变换为
f (t ) L[ ] F ( s )ds s t
(2 -18)
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2.4 拉氏变换的性质
12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为：

t
0
f (t ) g ( )d f (t ) g (t )
27
2.5 拉氏反变换的数学方法
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 。 L1 [ F ( s)] 由F(s)可按下式求出
1
1 C j st f (t ) L [ F ( s )] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须 是一种能直接查到的原函数的形式。
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L[ f (t )] F (s) f (t )est dt
0

(2－1)
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：
（1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点；


0
(t )dt 1 (t ) f (t ) dt f (0)
0
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[ (t )] (t )e st dt e st 2013-12-30
0
t 0
1
11
2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数 定义为： 0, t 0 f (t ) t, t 0 单位斜坡函数的拉氏变换为：
单位阶跃函数的拉氏变换为：

L[1(t )]
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0
e st 1 1(t )e st dt s 0 s
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
2 单位脉冲函数 定义为： , t 0 (t ) 0, t 0 单位脉冲函数的重要性质：
若时间函数f (t )的拉氏变换为F ( s)，且其一阶导数f '(t )存在，那么 L[ f '(t )] sF ( s) f (0 ) 其中f (0 )是时间正向趋近于零时的f (t )值。 （2－8）
7. 积分定理
假设f (t )的拉氏变换F ( s )，则 L[
t 0
F ( s) f (t )dt ] s
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
4 4 s 2 4 s 2 4 sT F ( s ) L[ f (t )] 2 2 2 2 e 2 2 e 2 2 e T s T s T s T s T s 4 2 2 (1 2e 2 e sT ) T s
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2.5 拉氏反变换的数学方法
拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式 之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。
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T T
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2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换
设f(t)是以T为周期的周期函数，即：
f (t nT ) f (t )
则f(t)的拉氏变换为：
1 L[ f (t )] 1 e sT

T
0
f (t )e- st dt
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2.4 拉氏变换的性质
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
1 1 sT 1 L[ f (t )] e (1 e sT ) Ts Ts Ts
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例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
L[t ]
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0
e st e st te st dt t ( )dt 0 s 0 s e st 1 st 1 dt 2 e 2 0 s s s
12
0
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t ) e
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8 终值定理
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原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
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9 初值定理
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2.4 拉氏变换的性质