第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;解 根据施密特正交化方法⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a解 根据施密特正交化方法⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==110111a b⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵证明 因为 H T (E 2xx T )T E2(xx T )T E 2(xx T )TE 2(x T )T x T E 2xx T所以H 是对称矩阵因为H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T )E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E所以H 是正交矩阵4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1A T B1B T(AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A故A 的特征值为1(三重). 对于特征值1 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1就是对应于特征值1的特征值向量.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A故A 的特征值为10 2139.对于特征值10, 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 2(1 1 0)T 向量p 2就是对应于特征值21的特征值向量 对于特征值39, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)T 向量p 3就是对应于特征值39的特征值向量.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A故A 的特征值为121 341.对于特征值121, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+00000000011010011001011001101001~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1)T p 2(0 11 0)T 向量p 1和p 2是对应于特征值121的线性无关特征值向量. 对于特征值341, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00000000011010011001011001101001~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 3(1 0 0 1)T p 4(0 1 1 0)T 向量p 3和p 4是对应于特征值341的线性无关特征值向量.6 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 证明 因为|A TE ||(A E )T ||A E |T |A E |所以A T 与A 的特征多项式相同 从而A T 与A 的特征值相同 7 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )R (B )n 证明A 与B 有公共的特征值 有公共的特征向量证明 设R (A )r R (B )t 则r t n若a 1 a 2 a n r 是齐次方程组A x 0的基础解系 显然它们是A 的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地 设b 1 b 2 b n t 是齐次方程组B x 0的基础解系 则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于(n r )(n t )n(nr t )n 故a 1 a 2 a nrb 1 b 2b n t 必线性相关 于是有不全为0的数k 1 k 2 k n rl 1 l 2l nt使k 1a 1k 2a 2 k n r a nr l 1b 1l 2b 2l n r b nr记 k 1a 1k 2a 2k n r a n r(l 1b 1l 2b 2 l n r b n r ) 则k 1 k 2 k n r 不全为0 否则l 1 l 2l n t 不全为0 而l 1b 1l 2b 2l n r b nr与b 1 b 2 b n t 线性无关相矛盾因此 0是A 的也是B 的关于0的特征向量 所以A 与B 有公共的特征值 有公共的特征向量8 设A 23A 2E O 证明A 的特征值只能取1或2证明 设是A 的任意一个特征值 x 是A 的对应于的特征向量 则(A 23A2E )x2x 3x 2x (232)x 0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是m阶矩阵A m n B n m的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有(AB)x x于是B(AB)x B(x)或BA(B x)(B x)从而是BA的特征值且B x是BA的对应于的特征向量11已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3求|A35A27A|解令()3527则(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)×(2)×(3)3231812已知3阶矩阵A的特征值为1 23求|A*3A2E|解因为|A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令()6132则(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)×(2)×(3)15(5)2513设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相似证明取P A则P 1ABP A 1ABA BA即AB 与BA 相似 14设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化求x解 由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为l 1=6, l 2=l 3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于l 2=l 3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设l 是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -lE )p =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0001112135212λλλb a ,解之得l =-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A得A 的特征值为1231由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00011010111325211~r b E A知R (A E )2 所以齐次线性方程组(A E )x 0的基础解系只有一个解向量 因此A不能相似对角化16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022;解 将所给矩阵记为A由λλλλ-------=-20212022E A (1)(4)(2)得矩阵A 的特征值为122134.对于12, 解方程(A 2E )x 0 即0220232024321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x得特征向量(1 2 2)T 单位化得T )32 ,32 ,31(1=p对于21, 解方程(A E )x 0即0120202021321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x得特征向量(2 1 2)T 单位化得T)32 ,31 ,32(2-=p对于34, 解方程(A 4E )x 0即0420232022321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------x x x得特征向量(2 2 1)T单位化得T)31 ,32 ,32(3-=p于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(2 1 4)(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解 将所给矩阵记为A由λλλλ-------=-542452222E A (1)2(10),得矩阵A 的特征值为121310.对于121, 解方程(A E )x 0 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442442221321x x x得线性无关特征向量(2 1 0)T 和(2 0 1)T 将它们正交化、单位化得T0) 1, ,2(511-=pT5) ,4 ,2(5312=p对于310, 解方程(A 10E )x 0 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000542452228321x x x 得特征向量(1 2 2)T单位化得T)2 ,2 ,1(313--=p于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(1 1 10) 17设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然54y 是的特征值故它们也是A 的特征值 因为4是A 的特征值 所以)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A解之得x 4已知相似矩阵的行列式相同 因为100124242421||-=-------=Ayy2045||-=-=Λ所以20y100 y5对于5 解方程(A5E )x 0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (12 0)T 将它们正交化、单位化得T)1 ,0 ,1(211-=pT)1 ,4 ,1(2312-=p 对于4 解方程(A4E )x 0 得特征向量(2 1 2)T单位化得T)2 ,1 ,2(313=p于是有正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=23132212343102313221P 使P 1AP18. 设3阶方阵A 的特征值为1222 31; 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .解 令P (p 1 p 2 p 3) 则P 1AP diag(2 2 1)A P P1因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11011101101111111011P所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-1101110111000200020111111101P P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=24435433219 设3阶对称阵A 的特征值为112130 对应1、2的特征向量依次为p 1(1 2 2)T p 2(2 1 2)T 求A解 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A 则A p 12p 1 A p 22p 2 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x ①⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x②再由特征值的性质 有x 1x 4x 61230 ③由①②③解得 612131x x --= 6221x x = 634132x x -=642131x x -= 654132x x +=令x 60得311-=x x 20 323=x 314=x 325=x因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022********A 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值162333 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A .解 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A因为16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 所以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1116111A , 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ①233是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A3E )1 利用①可推出⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A因为R (A3E )1 所以x 2x 43x 5且x 3x 5x 63 解之得x 2x 3x 51 x 1x 4x 64因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411141114A .21 设a (a 1 a 2 a n )Ta 10 A aa T(1)证明0是A 的n1重特征值证明 设是A 的任意一个特征值 x 是A 的对应于的特征向量 则有A x x2x A 2x aa T aa T x a T a A xa T ax 于是可得2a T a 从而0或a T a设12n 是A 的所有特征值 因为A aa T 的主对角线性上的元素为a 12 a 22a n 2 所以a 12a 22 a n 2a T a12n这说明在12n 中有且只有一个等于a T a 而其余n 1个全为0 即0是A 的n 1重特征值(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量解 设1a T a2n因为A a aa T a (a T a )a 1a 所以p 1a 是对应于1a T a 的特征向量对于2n0 解方程A x 0 即aa T x 0因为a 0 所以a T x 0 即a 1x 1a 2x 2 a n x n 0 其线性无关解为p 2(a 2 a 1 0 0)T p 3(a 3 0 a 10)Tp n (a n 0 0a 1)T因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p22设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A 求A 100解 由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A得A 的特征值为112535对于11 解方程(A E )x 0 得特征向量p 1(1 0 0)T 对于15 解方程(A 5E )x 0 得特征向量p 2(2 1 2)T 对于15 解方程(A5E )x 0 得特征向量p 3(1 2 1)T令P (p 1 p 2 p 3) 则 P 1AP diag(1 5 5)A P P 1A 100P 100P1因为100diag(1 5100 5100)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1202105055112021012111P所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12021050555112021012151100100100A⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100100100500050150123 在某国 每年有比例为p 的农村居民移居城镇 有比例为q 的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口迁移的规律也不变 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n y n 1)(1)求关系式⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A解 由题意知 x n 1x n qy n px n (1p )x n qy n y n1y n px n qy n px n (1q )y n可用矩阵表示为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x q p q p y x 1111因此⎪⎭⎫⎝⎛--=q p q p A 11(2)设目前农村人口与城镇人口相等 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.000y x 求⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x解 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11可知⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ得A 的特征值为11 2r 其中r 1p q对于11 解方程(A E )x 0 得特征向量p 1(q p )T对于1r 解方程(A rE )x 0 得特征向量p 2(1 1)T令⎪⎭⎫⎝⎛-==11) ,(21p q P p p 则 P 1AP diag(1 r )A P P1A n P nP 1于是11100111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p q r p q A nn⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=q p r p q q p n 11001111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(2124. (1)设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A , 求(A )A 105A 9解 由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A得A 的特征值为1125对于11 解方程(A E )x 0 得单位特征向量T )1 ,1(21 对于15 解方程(A5E )x 0得单位特征向量T)1 ,1(21-于是有正交矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111121P 使得P 1AP diag(1 5)从而A P P 1A k P kP1因此(A )P ()P 1P (1059)P 1P [diag(1 510)5diag(1 59)]P 1P diag(4 0)P1⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111210004111121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111122222. (2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122221212A , 求(A )A 106A 95A 8解 求得正交矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20223123161P使得P 1AP diag(1 1 5) A P P1 于是(A )P ()P1P (106958)P1P [8(E )(5E )]P 1P diag(1 1 58)diag(2 0 4)diag(6 4 0)P 1P diag(12 0 0)P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222033*********223123161 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型:(1) f x 24xy 4y 22xz z 24yz解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f x 2y 27z 22xy 4xz 4yz解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f x 12x 22x 32x 422x 1x 24x 1x 32x 1x 46x 2x 34x 2x 4解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f . 26 写出下列二次型的矩阵 (1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312)(T f解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1222A(2)xx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321)(T f解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=975753531A27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) f 2x 123x 223x 334x 2x 3解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320230002A 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A得A 的特征值为122531.当12时, 解方程(A 2E )x 0 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001002101202100002~E A得特征向量(1 0 0)T 取p 1(1 0 0)T 当25时, 解方程(A 5E )x 0 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035~E A得特征向量(0 1 1)T 取T )21 ,21,0(2=p .当31时, 解方程(A E )x 0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001~E A得特征向量(0 1 1)T取T)21 ,21 ,0(3-=p 于是有正交矩阵T (p 1 p 2 p 3)和正交变换x T y 使f 2y 125y 22y 32.(2) f x 12x 22x 32x 422x 1x 22x 1x 42x 2x 32x 3x 4解 二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1101111001111011A 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为1123341.当11时, 可得单位特征向量T)21 ,21 ,21 ,21(1--=p当23时, 可得单位特征向量T)21 ,21 ,21 ,21(2--=p当341时, 可得线性无关的单位特征向量T)0 ,21 ,0 ,21(3=pT)21 ,0 ,21 ,0(4=p于是有正交矩阵T ( p 1 p 2 p 3 p 4)和正交变换x T y使fy 123y 22y 32y 42.28 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 25y 25z 24xy4xz 10yz 1化成标准方程解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=552552223A由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A 得A 的特征值为122113对于12 解方程(A2E )x 0 得特征向量(4 1 1)T 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p对于211 解方程(A 11E )x 0得特征向量(1 22)T 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p对于30 解方程A x 0 得特征向量(0 1 1)T 单位化得)21 ,21 ,0(3=p于是有正交矩阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(2 11 0) 从而有正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 21322312132231031234使原二次方程变为标准方程2u 211v 2129. 明: 二次型f x T A x 在||x ||1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT1diag(12n )成立 其中12n 为A 的特征值, 不妨设1最大作正交变换y T x 即x T T y 注意到T1T T 有f x T A x y T TAT T y y T y1y 122y22n yn2因为y T x 正交变换 所以当||x ||1时 有||y ||||x ||1 即y 12y 22y n 21因此f1y 122y 22n y n21 又当y 11 y 2y 3y n 0时f 1所以f max130 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵 (1) f (x 1 x 2 x 3)x 123x 225x 322x 1x 24x 1x 3解 f (x 1 x 2 x 3)x 123x 225x 322x 1x 24x 1x 3 (x 1x 22x 3)24x 2x 32x 22x 32(x 1x 22x 3)22x 22(2x 2x 3)2令 ⎪⎩⎪⎨⎧+==-+=323223211222x x y x y x x x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-=323223211221225y y x y x yy y x二次型化为规范形f y 12y 22y 32所用的变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=12002102251C(2) f (x 1 x 2 x 3)x 122x 322x 1x 32x 2x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)x 122x 322x 1x 32x 2x 3 (x 1x 3)2x 322x 2x 3(x 1x 3)2x 22(x 2x 3)2令 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+=32322311x x y x y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x二次型化为规范形f y 12y 22y 32所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110010111C(3) f (x 1 x 2 x 3)2x 12x 224x 322x 1x 22x 2x 3解 f (x 1 x 2 x 3)2x 12x 224x 322x 1x 22x 2x 33223222212421)21(2x x x x x x -+++=232322212)2(21)21(2x x x x x +-++=令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=333222112)2(21)21(2x y x x y x x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=33322321121222212121y x y y x y y y x二次型化为规范形f y 12y 22y 32所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10022011121C31 设f x 12x 225x 322ax 1x 22x 1x 34x 2x 3为正定二次型 求a解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A 其主子式为a 111 2111a a a -= )45(5212111+-=--a a a a因为f 为正主二次型 所以必有1a 20且a (5a 4)0 解之得054<<-a32. 判别下列二次型的正定性: (1) f2x 126x 224x 322x 1x 22x 1x 3解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=401061112A 因为0211<-=a , 0116112>=--, 038||<-=A ,所以f 为负定.(2) f x 123x 229x 3219x 422x 1x 24x 1x 32x 1x 46x 2x 412x 3x 4解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=19631690230311211A 因为0111>=a , 043111>=--, 06902031211>=--, 024>=A所以f 为正定.33 证明对称阵A 为正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵U 使A U T U 即A 与单位阵E 合同证明 因为对称阵A 为正定的 所以存在正交矩阵P 使P T AP diag(12n ) 即A P P T其中12n 均为正数令), , ,diag(211n λλλ⋅⋅⋅=Λ 则11A P11T P T再令U1T P T则U 可逆 且A U T U。