集合论的创立与发展姓名：李菲菲数学科学学院2010级6班集合论自19 世纪70 年代由德国数学家康托尔( G . Cantor 1845- 1918)创立以来，不断促数学分科的发展，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。

按现代数学观点，数学各分科的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合或者是可以通过集合来定义的( 如实数、函数) 。

从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，是数学中最富创造性的伟大成果之一。

康托尔集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。

[1]在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，一种是实无穷。

希腊哲学家亚里士多德最先提出要将它们加以区别。

公元5世纪，普罗克拉斯( 410- 485 年) 在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。

[2] 到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。

伽利略( 1564- 1642 年)注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”。

十七世纪，无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。

由于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。

“数学家之王”高斯( 1777- 1855 年) 说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。

”法国大数学家柯西( 1789- 1857 年)也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的。

面对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。

1854 年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的可能性中》首次提出“唯一性问题”。

康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。

集合论产生的背景及其创立1811年，法国数学家傅立叶( Fourier)发表了他的《关于热传导问题研究》的论文，文中应用将函数展为三角级数的方法一举解决了当时物理界提出的热传导的大课题。

由于将任意函数展为三角级数的概念和方法具有巨大的理论意义和实用价值，因此被认为是数学史上“最辉煌的成就之一”。

康托正是从研究把函数表达为三角级数的唯一性的判别问题而提出集合论的。

把函数展为傅立叶级数的收敛性，以及密切相关的分析基础严密化的研究，都归结到建立实数理论问题，这需要彻底弄清实数的结构和性质，包括对数系的理解和数集概念的建立等。

早在1870年、1871年和1872年，康托先后三次发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理。

为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等重要概念——这是从间断点这一特殊问题的探讨转向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。

1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确提了出来：正整数的集合( N) 与实数的集合( R) 之间能否一一对应? 并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。

1874 年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象(它们叫做集合的元素)作为一个整体来考虑。

”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。

在论文中还证明了无穷集之间的差别，那就是既存在可列的无穷集，也存在像实数集那样不可列的无穷集。

他引进了集合的势(也称基数)的概念，随后又对这一概念进行了深入的研究，引进了基数与序数理论，他还极富创建性地提出了超限基数和超限序数。

他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。

为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念：两个集合只有当它们的元素之间可以建立一一对应时才称为是等价的，这样就第一次对各种无穷集合按他们元素的“多少”进行了分类。

他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：(1) 一切代数是可数的；(2)任何有限线段上的实数是不可数的；(3) 超越数是不可数的；(4) 一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。

它在数学上的主要成果是引进超穷数。

从1879 年到1883 年，康托尔写了6 篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些应用。

它在数学上的主要成果是引进超穷数。

该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。

该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。

康托尔最后一部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的贡献》。

该书的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。

但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔集合论通常称为朴素集合论。

朴素集合论创立后，一些学者包括康托尔自己对集合论提出了怀疑，因为他们构造出了一系列集合论悖论。

[3]通过这些证明，他建立起被称为“康托公理”的实数连续性公理，同年他又构造了实变函数论中著名的“康托三分集”，给出测度为零的不可列集的一个例子。

由于实数集是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了一定有超越数存在的结论，而且超越数大大多于代数，他的这一成果利导，让他们充分参与解决问题的实践，充分展示自己的学习过程。

千万不要随意制止，轻易否定，这只能使学生丧失参与学习实践和解决问题的主体地位，使学生创新能力的发展受阻，使培养学生创新精神成为空谈。

在当时的数学界引起了极大的轰动。

他从1879年到1884年在《数学年鉴》上以《关于无穷的线性点集》为题发表了一系列文章，论述无穷数(或超穷数)理论。

尤其是1895年和1897年在《数学年鉴》上发表的两篇具有决定意义的文章进一步阐述了无穷的特性，对无穷集合引进了新的基数。

他给基数的和、积、幂下了定义，并指出他的关于基数的理论适合于有限集合。

至于序数的概念，早在他引进一个已知集合的逐次导集时就感到有必要了，他定义了全序集及序数的和、积、相等与不相等等概念。

1883年他在《数学年鉴》上发表的文章中定义了良序集的概念，并讨论了基数上序数的级别。

由康托首创的具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程。

集合论悖论的提出，给逻辑界、数学界出了一大难题，为解决这一难题，逻辑学家们提出了一系列方案，并在不知不觉中，大大推动了逻辑学、数学的发展及康托尔集合论的完善。

[4] 同其它新生事物一样，康托的理论并不是完美无缺的：一方面，康托对连续统假设是否成立及非良序集的基数如何比较等问题始终束手无策；另一方面，更重要的是后来发现了所谓的布拉利-福蒂( Buraly- Forti)和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了怀疑。

1903年，数学家罗素在他出版的《数学原理》一书中提出了著名的罗素悖论。

在给出悖论之前，他先讲了一个生动的“理发师悖论”：一个理发师约定，只为那些“自己不给自己刮脸的人”刮脸，而不为那些“自己给自己刮脸的人”刮脸。

那么他给不给自己刮脸呢? 若他给自己刮脸，那他是“自己给自己刮脸的人”，显然违反了自己的约定；若他不给自己刮脸，那他是“自己不给自己刮脸的人”，显然也违反了自己的约定，于是理发师陷入了矛盾之中。

罗素悖论实质上同理发师悖论差不多，他构造了一个集合T={ x|x T}，由康托集合概括原则，T是一个集合，是一切不以自身为元素的集合为元素所构成的集合。

那么，T是否属于T?若TIT，由T的构造知，T T；若T T，由T的构造有TIT，因此无论如何都会导致矛盾。

这个矛盾是如此简单明了，用的概念是如此基本，因此罗素悖论的提出在数学界产生了极大的震动。

数学家们感到数学的基础动摇了，数学的大厦将要倒塌! 怎么办? 这些成了摆在二十世纪初数学家面前必须解决的问题(这就是历史上著名的第三次数学危机)! 经过研究，数学家们认识到解决矛盾的有效途径是对集合论进行公理化处理。

其基本思想是：把康托关于集合的广义条件分为两类，一类为合法条件，它们刻画了集合最基本的性质、特征，是构成集合的必要条件；另一类为不合法条件，他导致集合论悖论的产生。

然后采用公理的形式保留合法条件，排除不合法条件。

德国数学家策梅罗(E。

Zermelo)于1908年提出了集合论的第一个公理系统。

他从“集合”、“属于”两个基本概念出发，引入了八条公理：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理(上述五条公理实质上都是康托集合论中已有的，由这些公理出发，几乎可以推出康托集合论中所有有限集，但得不到无限集)、无穷集公理、子集公理和选择公理。

但策梅罗公理仍然存在缺陷，后来又出现了“异常集”悖论。

1925年数学家冯·诺伊曼John V on Neumann引入第九条基底公理。

同年，数学家弗兰克尔(AbrahamA ·fraenkel)针对含义较模糊的子集公理提出了第十条置换公理，使策梅罗公理系统进一步完善。

至此，由“集合”、“属于”两个原始概念和上述十条公理就组成了一个完整的集合论公理系统。

除开ZF系统外，冯·诺伊曼从1925年开始建立以“类”和“真类”的概念区别集合的另一公理系统；1945年数学家贝尔奈斯(P。

Bernays)建立了一个公理化集合系统，称为GB系统；法国著名的布尔巴基(N ·Bourbaki)学派也提出了另一公理系统，用希尔伯特ε-算子来取代与之等价的选择公理，等等。

上述公理系统通称为公理集合论，与之相对应，人们把康托的传统集合论称为经典集合论或朴素集合论。

在此后的发展中，数学家们关于集合论的各个公理系统的相容性和独立性的研究、关于连续统假设的研究、关于超穷基数的深入研究等等不断丰富和发展了集合论，不断地开拓了集合论的应用范围，同时也不断深化了人们关于数学内在统一性、关于数学其理性的认识，并且随着其它数学分支(如拓扑学、组合学、模糊数学等)的发展，一些新的边缘学科“集论拓扑”、“组合集论”、“模糊集论”等等也不断出现，集合论这支数学园地上的奇葩正日益放射出新的夺目光彩! 1897年3月，布拉里和佛梯在巴勒摩数学会上宣读的论文中发表了第一个逻辑史上集合论悖论。