高等代数
一、逆矩阵的定义、唯一性
定义：设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使得 AB BA E 则称矩阵 A 是可逆的，方阵 B 称为 A 的逆矩阵， 记作 A1.
例:
设
1 A 1
1 1 2 1 2
1
,
B


1
2
1
2

,
AB BA E,
（5） ( Ak )1 ( A1 )k
（6） A* A n1 , ( A* )T ( AT )*, ( A)* n1 A*
高等代数
1 1 1
1 0
例3 设 A 1
0
2 1
3 1
B


2 5
1 3
C 0 0
0 1
(1) | A1 || A |1;
副产品：
(2) A* | A | A1, 且(A*)1
1
A.
| A|
注：这个定理不但给出了一的方法。
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推论 ： 设A、B是n 阶方阵， 如果 A B = E 或 BA= E , 则 B=A-1。
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§2-2 逆矩阵 (Invers Matrix)
一、逆矩阵的定义、唯一性 二、矩阵可逆的判别及求法 三、可逆矩阵的性质
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矩 阵 运 算
线性运算 乘法运算 转置运算
加法运算 数乘运算
1、不满足交换律； 2、不满足消去律； 3、存在非零的零因子 (1) (AT)T = A ; (2) (B + C)T = BT + CT ; (3) (kA)T = kAT; (4) (AB)T = BTAT ;
（4） ( AB)1 B1 A1
（5） ( Ak )1 ( A1 )k
（6） A1 A 1
高等代数
方阵的伴随矩阵运算满足下列运算规律： （1） A* | A | A1 （2） ( A* )1 1 A
| A|
（3） ( A1)* ( A* )1,
（4） ( AB)* B* A*
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归纳总结: 小结所有介绍过的一般n元线性方程组的各种
表示形式.
求矩阵X，使满足矩阵方程 A X B= C
高等代数
例5、已知A2-3A=O， (1)证明4E-A可逆,;
(2)若 A0，证3E-A不可逆 .
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练习：设方阵满足方程 A2 3A 10E 0
证明: A和A 4E都可逆，并求出它们 的逆矩阵
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六、矩阵多项式
1. 定义
设 (x) = a0 + a1x + … + amxm 为 x 的 m 次多
A11 A21
(1)
A1
1
A，其中A


A12
A

A22

A1n
A2n
An1
An
2


Ann

其中A为A的伴随矩阵，
Aij为行列式 A 中元素aij的代数余子式.
(2)
特别地，对二阶方阵A


a c
b
d

当 A ad bc 0时，有
A1
B是A的一个逆矩阵.
高等代数
问题： 存在性？
如果存在，是否唯一？ 如何判定？ 如何求？
定理1：如果n 阶方阵 A 可逆， 则它的 逆矩阵是唯一的。
高等代数
定理2：A是可逆方阵的充分必要条件是 A 0.
而且当 A 可逆时， A1 1 A* A
其中 A 是方阵A的伴随阵。
重要
1 A
A

ad
1 bc
d

c
b
a

一调一反
高等代数
1 1 1
例1 求方阵 1 2 3 的逆矩阵。
0 1 1
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方阵的求逆矩阵运算满足下列运算规律：
（1） ( A1)1 A
（2） ( AT )1 ( A1)T
（3） (kA)1 1 A1 ,其中数k 0 k
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
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逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A


1
1
0

,
求A的逆矩阵。
解：
设
B


a c
b d

是A的逆矩阵,
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逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
（ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则 k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
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() = a0 E + a1 + … + am m
1
1

1m


a0


1



a1

1
2





am

n

m2



mn
(1 )




(2 )


.
(n )
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例16
设
1 1 P 1 0
1
1
2 ,
2

, AP P ,
1 1 1
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
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2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .