第八章 内容要点：
简谐运动
1、简谐振动的运动方程和动力学方程
2、振幅、周期、频率、相位、初相位
3、通过已知条件求物体的振动方程
第八章 简谐运动 一 简谐运动
1 机械振动
物体或物体的某一部分在一定位置 附近来回往复的运动 平衡位置 实例:
心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等
2 简谐振动 简谐运动 简谐运动 谐振子 最简单、最基本的振动 合成 复杂振动
情况同动能。
机械能
1 2 E E k E p kA 2
简谐振动系统机械能守恒
简谐运动的合成和分解
简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频 率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
dv π 2 2 a t 0.5 0.12π cos( π t ) t 0.5 0.103 m s dt t 0.5 3
设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m 代入振动方程：
0.06 0.12 cos (π t1 π 3 )
1 cos ( π t1 π 3 ) 2
解：设振动方程
x A cos(t 0 )
t 0, x0 A cos 0 7.5cm
v0 A sin 0 75cm
解得：
A 10.6cm, 0

4
x 10.6 10 2 cos(10t

4
)m
14
例3：通过振动曲线求振动方程
振动方程为： 5 2 x 0.02 cos( t ) m 6 3
简谐运动的旋转矢量表示法
旋转矢量A在 x 轴上 的投影点 M 的运动规律： y
P
x A cos( t )
结论：
A

t 0
0
M
x
投影点M的运动 为简谐振动。
• 旋转矢量的模A：振幅
• 旋转矢量A的角速度： 角频率 • 旋转矢量A与 x 轴的 夹角( t+ )： 相位 • t = 0 时， A与x 轴 的夹角 ：初相位。 • 旋转矢量A旋转一周， M点完成一次全振动。
x A cos ( t )
v A sin ( t )
x0 A cos
v0 A sin
x0 A cos
x
2 0

2 2
v0

A sin
2 2
v

2 0 2
A (sin cos ) A
A
2
x0
v0
拍的频率：
从解析式来分析：
x1 A cos(1t )
2 1
2
x2 A cos(2t )
2 1
2
x x1 x2 A cos(1t ) A cos( 2 t ) 2 A cos t cos( t )
当 2 1 2 1
x(m)
解：由振动曲线 可知：
0.02 0.01 0 0.01 0.02
A 0.02m
1
t (s )
t 0时，x0 0.01 0； v0沿x轴负方向，v0 0
2 3
2 由t=1s时，x1=0得， 0 0.02 cos( 1 ) 3 2 3 1 3 2
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振 动状态. 物体经一周期的振动，相位改变 2 .
例1 一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。 整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉 长到 x0 = 0.04 m 处释放，试求： 简谐振动方程。
解：x0 0.04m
, v0 0
x0
2
, 6.0 rad s
分解
作简谐运动的物体
弹簧振子的振动
l0 k
m
x
A
o
A
x0 F 0
振动的成因： 回复力+惯性
3 弹簧振子的运动分析
F
o
m
x
2
x
F kx ma
2
d x 2 x 得 a 2 x 即 2 dt 简谐运动的特征：加速度 a 与位移的大小x 成正比，方向相反
k 令 m
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x
2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 cos( t ) cos[( )t ] 随t 快变 2
A A1 A2
A2
2
x2

A

1
x x1 x2
A1
x
x A cos( t )
结论：
x1
x
一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。
A
A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1)
2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 arctan A1 cos 1 A2 cos 2
简谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 E 1 mv 2 k 2 能
1 2 Ek max kA 2
Ek min 0
1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2
势 能
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
E p max , E p min
某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
v A sin( t 0 ) x A cos( t 0 )
1 E k mv 2 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) 2
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
2
vo tan xo
v A sin(t ) π A cos(t ) 2 2 a A cos( t )
A cos( t π)
2
x A cos(t ) 2π T 取 0
A A
x
π 2π π t1 3 3
4π 或 3
y
2π 3
π 2π π t1 3 3
t1 1s
4π 3
x
π 3π π t2 3 2
11 t2 s 6
11 5 t t 2 t1 1 s 6 6
简谐振动的能量
以弹簧振子为例:
谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep
周期 T
2π

1 频率 T 2π
圆频率
A
x
x t 图
T
T 2
2π 2 π T
o
A
t
周期和频率仅与振动系统本身的 物理性质有关
四 相位 t
x A cos(t )
相 位 初相位
(t) t
t 0时，(t )
时
x 2 A cos
2 1
2
2 1 t cos t 2
二、同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x1 A cos( 1t ) x2 A cos( 2 t )
x x1 x2
x 2 A cos(
2 1
π 3 π 3
1 π cos 2 3
x

v0 A sin 0
sin 0
振动方程：
π 3
π x 0.12 cos( π t ) 3
dx π 1 v t 0.5 0.12π sin( π t ) t 0.5 0.189 m s dt t 0.5 3
解方程
d2 x 2 x 2 dt 设初始条件为:
简谐运动的微分方程
t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
解题方法
由初始条件求解振幅和初相位： 设 t = 0时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x A cos ( t ) 2π 1 已知：A =12 cm , T = 2 s ， πs T x 0.12 cost
解： 设简谐振动表达式为 初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 > 0
0.06 =0.12 cos
y

x0 0.04 m
1
振幅： A
v0
2 2
0
v0 arctan 0 x0
得
x 0.04 cos (6.0t )
例2、一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率w = 10 rad/s．试写出以下初始 状态时的振动方程： 其初始位移x0 = 7.5 cm，初始速度v0 = 75.0 cm/s；
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
A(t )cos( t )
内容小结：
1、简谐振动的运动方程和动力学方程
d2 x x A cos(t ) 2 x 2 dt 2、振幅、周期、频率、圆频率、相位、 初相位
3、通过已知条件求物体的振动方程
t 0 时，x x0 ，v=v0
y
P
A

t 0
M
x
周期：
T