一、 数据变换
在实际中，不同的变量一般取值的量纲（单位）不同， 为了使不同量纲的变量进行比较，消除聚类时量纲对聚类结 果的影响，经常对原始数据作变换。常用的变换方法有： （1）中心化变换 中心化变换是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据 中减去该变量的均值就得到中心化数据。 设原始测量样本数据阵为X
（1）欧氏距离
2 dij (2) ( xik x jk ) k 1
P 1 2
(i, j 1,2,, n)
（5）
欧氏距离是在聚类分析中用得最广泛的距离。
（2）绝对值距离
d ij (1) xik x jk
k 1
PБайду номын сангаас
(i, j 1,2,, n)
nxp
（1）
n为样本容量（试验、观测次数），p为变量个数。
* 设中心化后的数据为 xij 则
* xij xij x j
(i 1,2,, n, j 1,2,, p)
(2)
其中
1 xj n
x
i 1
n
ij
( j 1,2, , p)
（2）标准化变换 标准化变换的变换公式为：
在计算G7、G6间的距离，因为每类都有两个样品，所以 考察d13,d14,d23,d244个样品间距离的大小，由表-1可知，四个 距离中最短为2.5，即D67=2.5。
表-3 3类之间的最短距离D2
Min{Gi,Gj} G6={X1,X2} G7={X3 X4 } G5={X5} G6 0 2.5 6 G7 0
二、 相似系数与距离的定义
目前已设计了多种相似系数和距离， 下面介绍在聚类分析中常用的几种。 1. 距离
设
X i xi1 , xi 2 , , xip ,


i 1,2, , n.
为从总体中取得的一样本容量为n的样 本，每个样本点为p维空间中一个向量 ，用dij 表示Xi 与Xj 的距离，则常用的距 离有以下几种：


nj 2 ni 2 Dsi Dsj nr nr
（18）
6. 可变类平均法 在类平均法递推公式中Gi，Gj之间的距离没有反映进去，为 修改公式(23)得到推公式
2 G rs
nj ni 2 2 2 （19） (1 ) D si (1 ) D sj D si nr nr
一、 聚类方法 1. 最短距离法 设G1 ，G2 ，……，Gn 表示n类，dkl 表示样品k，l间的距离， Dij表示类Gi，Gj间距离，则
Dij mind kl
kGi lG j
（9）
最短距离法的聚类步骤为： （1）计算所有样品间的距离，得距离矩阵D(0)，各样品自成 一类，此时Dij=dij。 （2）在D(0)非对角线元素中选取最小元素，设为Dij，将Gi与 Gj合并为一类，记作Gr,则{Gi, Gj}即Gr 中样品为Gi ，Gj中全部 样品。
5个样品聚类过程谱系图
2. 最长距离法 最长距离法规定两类间的距离为两类中最远样品 间的距离，即：
Dij maxd kl
kGi lG j
（11）
同最短离法步骤一样，只是在两类Gi ，Gj 合并为 新类Gr时，Gr与其类Gs间距离为：
Drs max Dis , D js


（12）
1 Xr ni X i n j X j nr




（15）
如果类Gs的重心为 X s , 则类Gs与Gr的距离平方为
ni 2 nj 2 ni n j 2 D Dsi Dsj Dij （16） nr nr nr nr
2 rs
5. 类平均法 类平均法以两类样品两两之间的距离平方和的平均值确定 两类之间的距离平方即：
d12=d21=|xi1-xj1|=|1-2|=1.0
同理，计算其它样品两两之间的距离，结果列于表-1。
表-1 5个样品原始距离
dij x1 x2 x3 x4 x5
x1
x2 x3
0
[1 ]
0 2.5 0
3.5
x4
x5
5
7
4
6
1.5
3.5
0
2 0
2. 定义类与类间的距离。采用最短 距离法。
3. 逐步归类。开 始5个样品自成一 类，即5类，类间 距离即为样品间 距离，Dij=dij。由 表-1中样品间距离， 可知样品X1(属于 G1类）和样品X2 （属于G2类）之 间的距离d12=1最 小。因此首先合 并G1类与G2类为 新类G6类；然后 计算G6和G3、G4、 G5间的距离，列 于表-2。
第二节 系统聚类分析法
在聚类方法中，系统聚类是一种广为流传的方法， 这种方法开始把每个样品都看成一类，n个样品 视为n类，然后按一定原则缩小类数，直到所有 样品并为一类为止。
系统聚类法：先将每个样品视为一类，然 后定义样品间的距离（或相似系数）和类与类 间的距离，聚类过程是首先选择距离最小的两 类合并为一类，再按类间距离的定义，计算新 类与其它类间的距离; 再将距离最近的两类合 并为一类；如此继续，直至所有样品归为一类 。 类与类间的距离又有不同的定义方法，因 此产生了系统聚类的不同方法，而常用的有八 种方法：最短距离法，最长距离法，中间距离 法，重心法，类平均法，可变类平均法，可变 法和离差平方和法。下面分别介绍这些方法。
x11 x12 x1 p x21 x22 x2 p X nxp x n1 xn 2 xnp
(1)
x11 x12 x1 p x 21 x 22 x 2 p X x n1 x n 2 x np
第一节 聚类分析基础
聚类分析都是依据一定的条件进行的，我们把 这些条件叫做指标或变量，而把要进行分类的对象 叫样品。为了根据变量对样品进行分类，就要研究 样品间的关系，而描述这种关系的方法通常有两种， 一种是距离法；另一种为相似系数法。样品间的距 离与相似系数又有多种不同定义方法。依据变量对 样品进行分类时，在计算距离或相似系数时，一般 与变量的取值关系很大，因此经常将数据进行一些 适当的处理。
3. 中间距离法 中间距离法定义类间距离采用介于最短距离与最长距离法 之间的距离。 设某一步将Gi与Gj 合并为Gr ，则Gr与其它类Gs 间的距离定 义为：
1 2 1 2 1 2 Drs Dsi Dsj Dij 2 2 4
几何意义如下图所示
（13）
中间距离法可推广到更一般的形式
1 2 1 2 2 D rs D si D sj Dij 2 2
聚类分析方法
聚类方法也称为集群方法。聚类分析
（Cluster Analysis）是应用多元统计分析原理研 究分类问题的一种数学方法，近年来已被广泛用 于地质勘探、天气预报、作物分类等许多方面。 生态学数量分类的研究是从20世纪50年代开始的， 60年代后许多具有不同观点的传统学派都进行了 数量分类的研究。近年来国内也开展了数量分类 的研究，并取得了一定的成绩。
2 Dij
1 ni n j
kGi lG j

2 d kl
（17）
如果Gi 与Gj 类合并为Gr ，则新类Gr 与其它类间的距离平方 如下计算
2 G rs
1 nr ns
kGs lGr

2 d kl
1 2 2 d kl d kl n r n s kG kGs s lG j lGi
上式中>0时，有空间压缩作用，当=0时，聚类空间守恒， 当<0时，有空间扩张作用，一般情况下，常取负值且
1 4
7. 可变法 可变法的递推公式为：
2 Drs
1 2 2 2 Dsi Dsj Dij 2
1 4


（20）
其中， 1 ，且常取
8. 离差平方和法 假定已将n个样品分为k类：G1, G2,……, Gk。Xij表示Gj类中 第i个样品，记nj为Gj中样品数， X 表示Gj的重心，则Gj中样 品的离差平方和为：
（2）相关系数 设rij为n维向量Xi与Xj之间的相关系数，则
rij
x
k 1
n
ki
xi x kj x j
2


（8）
2
x
k 1
n
ki
xi
x
n k 1
kj
xj
距离与相似系数的选择是一个比较复杂，带主观性的 问题，一般需作具体分析，在多次聚类分析过程中， 可多试探几种距离进行聚类，从中总结经验，以选择 合适的距离。
例. 设有5个样本，并假定每个样本仅有一个特征或变 量描述，其值分别为：1.0，2.0，4.5，6.0，8.0。用 最短距离法定义类间距离，将5个样品进行聚类分 析。
解：聚类分析过程如下： 1. 计算全部样品两两之间的距离。样品间距离采用绝 对值距离 |Xi-Xj|
例如第1个样品与第2个样品间的距离为：
（6）
2. 相似系数 聚类分析除了研究样品的分类外，有时也需要对变量分类。 在对变量进行分类时，通常采用相似系数表示变量之间的亲疏 程度。常用的相似系数有以下几种： （1）夹角余弦 设Xi, Xj为n维空间中两个向量，（表示两个样品或两个变量 的n次观测值）其夹角为ij。则夹角余弦为：
X i' X j X i' X j X
其中
（14）
1 0 4
4. 重心法 重心法在定义两类之间的距离时，考虑了每一类中所包含 的样品数，即以两类重心之间的距离，做为二类之间的距离 X ，设Gi与Gj类中分别含ni，nj个样品，其重心分别为 X i ， j ， 将Gi与Gj合并为Gr类，则Gr中含nr = nI + nj个样品，其重心为 ：