明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
分析复合函数的结构，找准中间变量是
反思与感悟
求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个 整体，并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再 写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由
外及内逐层求导.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ). 解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋
3的复合函数. ∴yx′＝ yu′· ux′ ＝ (u2)′· (2x＋ 3)′＝ 2u· 2 ＝ 4(2x＋ 3) ＝8x＋12.
探究点一
思考1
复合函数的定义
观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，
说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；
而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复
合”得到的，
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
2x＋ 1
1 例 3 求曲线 y＝e 在点(－ ，1)处的切线方程. 2 解 ∵y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′ ＝ 2，
2x＋ 1
∴曲线 y＝e
1 在点(－ ，1)处的切线方程为 2
1 y－ 1＝2(x＋ )， 2 即2x－y＋2＝0.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、Байду номын сангаас疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数
u＝－0.05x＋1的复合函数.
∴yx′ ＝ yu′· ux′ ＝ (eu)′· ( － 0.05x ＋ 1)′ ＝－ 0.05eu
＝－0.05 e－0.05x＋1.
当堂测、查疑缺
1
2
3
4
2.若函数y＝sin2x，则y′等于(
A
)
A.sin 2x
C.sin xcos x 解析
B.2sin x
D.cos2x
y′＝2sin x· (sin x)′＝2sin x· cos x＝sin 2x.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1
3.若y＝f(x2)，则y′等于(
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
思考 3
在复合函数中，内层函数的值域 A 与外层函
数的定义域B有何关系？ 答 A⊆B.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
小结
要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，
对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几
量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1).
解 (1)y＝ln u， u＝ x；
(2)y＝eu，u＝sin x；
(3)y＝cos u， u＝ 3x＋1.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
思考 如何求复合函数的导数？ 答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分 解 —— 求导 —— 回代”，即： (1) 弄清复合关系，将
复合函数分解成基本初等函数形式；
(2)利用求导法则分层求导；
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
反思与感悟
求曲线切线的关键是正确求复合函数的
导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线” 两种不同的说法.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
跟踪训练 3 曲线 y＝esin x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行， 且与 l 的距离为 2，求直线 l 的方程. 解 设u＝sin x，则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′.
第二章
变化率与导数
§5 简单复合函数的求导法则
明目标、知重点
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导
法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经 学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅 限于形如f(ax＋b)的导数).
填要点、记疑点
1. 复合函数的概念 2. 复合函数的求导法则
1.复合函数的概念
成的；
(2)y ＝ log3(x2 － 2x ＋ 5) 是由函数 y ＝ log3u ， u ＝ x2 － 2x
＋5复合而成的；
(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
反思与感悟
分析函数的复合过程主要是设出中间变
2
3
4
A
)
A.2xf′(x2)
C.4x2f(x)
B.2xf′(x)
D.f′(x2)
解析 设x2＝u，则y′＝f′(u)· ux′
＝f′(x2)· (x2)′＝2xf′(x2).
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1
2
3
4
4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
(3)函数 y＝ sin(πx＋ φ) 可以看成函数 y＝ sin u ， u ＝ πx
＋φ的复合函数.
∴yx′＝yu′· ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π
＝π cos(πx＋φ).
明目标、知重点
个基本初等函数的方法.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
例1 指出下列函数是怎样复合而成的：
(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝ (3＋ 5x)2是由函数 y ＝ u2， u＝ 3＋ 5x复合而
(3) 最终结果要将中间变量换成自变量 .注意不要漏掉
第(3)步回代的过程.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
例 2 求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝ ； 1－2x π 2x＋ 3 (3)y＝sin(－2x＋ )；(4)y＝10 . 3 解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，
则yx′＝yu′· ux′＝(u4)′· (2x－1)′＝4u3· 2 ＝8(2x－1)3.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
可看作 y＝ ， u＝1－2x 的
1 (2)y＝ ＝ 1－2x 复合函数，
则 yx′＝yu′· ux′＝ 1 ＝ ； 1－2x 1－2x
所以y＝ln(x＋2)称为复合函数.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
思考2 答
复合函数的定义
对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的
函数的过程 . 在分析时可以从外向里出发，先根据最
外层的主体函数结构找出y＝f(u)； 再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y ＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x)).
当堂测、查疑缺
2.复合函数的求导法则
复合函数 y＝ f(φ(x))的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ φ(x) 的 ux′ 导数间的关系为yx′＝ yu′· .即y对x的导数是 y对u 的导数与u对x的导数的乘积 .
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 探究点二 探究点三 复合函数的定义 复合函数导数的求解 复合函数导数的应用
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
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垂直，则a＝________. 2
解析 由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
呈重点、现规律
求简单复合函数f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单 复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后 再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘. 灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是 关键.