第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-193-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。

试问：在下述情况下，（1）地球从点A 运动到点B ,（2）地球从点A 运动到点C ，（3）地球从点A 出发绕行一周又返回点A ，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 答：选太阳处为坐标原点O ，且O →C 方向为X 轴正方向，O →B 方向为Y 轴正方向，设地球和太阳的质量分别为,m M ，两者间的距离为r ，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为v ，故根据万有引力定律，有：22vm M m Grr=，即v =（1）地球从点A 运动到点B 的动量增量为：()())A B B A P m v v m vi vj i j ∆=-=-=-根据质点的动量定理，地球所受的冲量为：)A B A B I P mi j =∆=-（2）地球从点A 运动到点C 的动量增量和所受的冲量为：()()2A C A C C A P I m v v m vj vj mj ∆==-=--=-（3）同理，地球从点A 出发绕行一周回到A 点的动量增量和所受的冲量为：()0A A A A A A P I m v v ∆==-=3-3在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。

问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？ 答：（1）人不动，则气球的加速度不变。

（2）以气球及梯子（总质量为M ）与人（质量为m ）为系统，地面为参照系，且设人相对梯子上爬的速度为v 、气球相对地面的速度为V ，人相对地面的速度为v '，则有v v V '=+如果设气球及梯子与人初始为匀速率0v 竖直上升，则可应用动量守恒定律，得0()m v M V m M v '+=+所以， 0()V v m v m M =-+故得气球的加速度为d V m d v a d tm Md t==-⋅+气由此可知，当人相对于梯子的加速度0d v d t=（相对梯子匀速爬上）时0a =气；而当0d v d t>（加速爬上）时，0a <气。

【选地面为参照系，竖直向上为坐标的正方向；设气球及梯子与人初始的加速度大小为0a ，气球浮力为F F ；当人以加速度r a 向上爬时，气球及梯子的加速度为q a ，此时梯子与人之间的相互作用力大小为T F ，则根据牛顿定律，有0()()F F m M g m M a -+=+ T r F m g m a -=F T q F M g F M a --=解得 00[()]q r a M a m a a M =-- 当人在梯子上不动时， 0r a a =，0q a a =；当人以相对加速度0r a a -爬上时，气球及梯子的加速度00[()]q r a M a m a a M =--，有变化。

】【或应用质心运动定律求解。

将人与气球及梯子看成一个系统，其质心的加速度为r q m a M a a m M+=+因为系统所受合外力恒定，故0r q m a M a a m M ∆+∆∆==+即得 r q m a a M∆∆=-，表明气球加速度的改变与人的加速度变化有关，改变的方向相反。

】 3-7在水平光滑的平面上放一长为L ，质量为m '的小车，车的一端站有质量为m 的人，人和车都是静止不动的。

当人以v 的速率相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？ 解：如右图，设人、板相对于地面的速率分别为()v v t =、()u u t =，方向如图所示； 因为人和板组成的系统沿水平方向的合外力为零，故根据动量守恒定律得0m u m v '-= 即 u m v m '=，人相对于板的速率为()m m v v t v u v m '+''==+=⋅'，设从板的一端走到另一端需要的时间为t ，则有t t m m m m L v d t vd t x m m ''++'===⋅''⎰⎰，上式中，0t x vd t =⎰为人相对于地面移动的距离， 所以，人相对于地面移动的距离为m L x m m'='+，板相对于地面移动的距离为 m L S L x m m=-='+ 。

【或应用质心运动定律求解：选地面为参照系，开始时人的位置0x 为坐标原点，人走到车的另一端时人的坐标为1x 、车的中心位置坐标为1x '；人车系统所受合力为零，则根据质心运动定律，有0()C d v m m d t'=+ ，即得 C v C =又由初始条件 00C v =，得 0C v =所以质心位置不变： 0011C m x m x m x m x x m m m m ''''++==''++即有 0011m x m x m x m x ''''+=+ 110()22L L m m x m x ''+=+-解出 1m L x m m'='+， 1m L S L x m m=-='+ 】3-10质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。

答：在两惯性系（,S S '）中，质点的速度关系为v v u '=+，故由p m v = 和212K E m v =知（1）质点的动量p和动能K E 都与惯性系有关；（2）两惯性系中质点所受的合力F F '=，但移动的路程不同，故功与惯性系有关；（3）不同的惯性系中均有d v F m d t = ，故2211t v t v F d t m d v =⎰⎰，即I p =∆，所以其动量定理与惯性系无关；同理，根据222111r v v r v v d v F d r md s m vd v d t⋅==⎰⎰⎰，可得出K W E =∆，故其动能定理也与惯性系无关。

（举例说明） 3-14如图所示，光滑斜面与水平面间的夹角为α。

（1）一质量为m 的物体沿斜面从点1A 下滑至点C ，重力所作的功是多少？（2）若物体从点2A 自由下落至点B ，重力所作的功又为多少？从所得结果你能得出什么结论（点12,A A 在同一水平面上）？解：（1）、m 在斜面上沿1A C →下滑d l 时，重力所作的功为：sin dW P dl m g dl α=⋅=⋅滑至C 点重力所作的功为：111sin sin sin A C A CA CW d Wm g d l m g d l m g S m g h ααα==⋅===⎰⎰⎰（2）、点2A 自由下落至点B ，重力所作的功为：222ACA CA CW d W P d hm g d h m gd h m g h ==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰由此可见， m 沿斜面下滑时重力所作的功与m 自由下落相同的高度差时重力所作的功相等，且与斜面的倾角的大小无关。

3-19在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中又有哪些量保持不变？ 答：在碰撞过程中，因系统内物体间的相互作用力远远大于外力，可认为0F =外，则根据动量定理，得知在弹性碰撞或非弹性碰撞中系统的总动量保持不变；而在弹性碰撞中，因系统的机械能没有转化为其它形式的能量，故其机械能保持不变。

习题3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、（选择题） 3-8、3-11、3-15﹡、3-19、3-23、3-28、3-37h23-1对质点组有以下几种说法：（1）质点组总动量的改变与内力无关； （2）质点组总动能的改变与内力无关； （3）质点组机械能的改变与保守内力无关； 下列对上述说法判断正确的是（ C ） （A ）只有（1）是正确的 （B ）（1）、（2）是正确的 （C ）（1）、（3）是正确的 （D ）（2）、（3）是正确的 3-2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则（ D ） （A ）物块到达斜面底端时的动量相等 （B ）物块到达斜面底端时的动能相等（C ）物块和斜面（以及地球）组成的系统，机械能不守恒 （D ）物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒 3-3对功的概念有以下几种说法：（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。

下列对上述说法中判断正确的是（ C ） （A ）（1）、（2）是正确的 （B ）（2）、（3）是正确的 （C ）只有（2）是正确的 （D ）只有（3）是正确的 3-4如图所示，质量分别为1m 和2m 的物体A 和B ，置于光滑桌面上，A 和B 之间连有一轻弹簧，另有质量为1m 和2m 的物体C 和D 分别置于物体A 与B 之上，且物体A 和C 、B 和D 之间的摩擦因数均不为零。

首先用外力沿水平方向相向推压A 和B ，使弹簧被压缩，然后撤掉外力，则在A 和B 弹开的过程中，对A 、B 、C 、D 以及弹簧组成的系统，有（ D ） （A ）动量守恒，机械能守恒 （B ）动量不守恒，机械能守恒（C ）动量不守恒，机械能不守恒 （D ）动量守恒，机械能不一定守恒 3-5如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出。

以地面为参考系，下列说法中正确的说法是（ C ）（A ）子弹减少的动能转变为木块的动能 （B ）子弹-木块系统的机械能守恒（C ）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功v（D ）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热 3-8304x F t =+（式中x F 的单位为N ，t 的单位为s ）的合外力作用在质量为10m kg =的物体上，试求：（1）在开始2s 内此力的冲量I ；（2）若冲量300I N s =⋅，此力作用的时间；（3）若物体的初速度1110v m s -=⋅，方向与x F 相同，在 6.86t s =时，此物体的速度2v 。

解： 304x F t =+，10m kg = （1）由定义，得开始2s 内此力的冲量222200(304)302|68I F d t t d t t t N s ==+=+=⋅⎰⎰（2）设从开始到t 秒内此力的冲量为300I N s =⋅ 则有 2(304)302300t t I F d t t d t t t ==+=+=⎰⎰解得 6.86t s =（舍去21.86t s =-） （3）由动量定理，得 21I m v m v =-由上可知， 6.86t s =时300I N s =⋅， 所以，得 11240I m v v m sm-+==⋅3-11如图所示，在水平地面上，有一横截面20.20S m =的直角弯管，管中有流速为13.0v m s -=⋅的水通过，求弯管所受力的大小和方向。