1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。

证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理就是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E ,使得1()n m E E n-<, 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒,由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞=,..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 就是可测函数。

证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >就是直线上的开集,设11[](,)nn n E f c αβ∞=>=U ,其中(,)n n αβ就是其构成区间(可能就是有限个,nα可能为-∞nβ可有为+∞)因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><I U U 因为g 在2E 上可测,因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。

故[()]E f g c >可测。

3、设()f x 就是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>就是一开集,而{|()}E x f x a =≥总就是一闭集。

证明:若00,()x E f x a ∈>则,因为()f x 就是连续的,所以存在0δ>,使任意(,)x ∈-∞∞,0||()x x f x a δ-<>就有, 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以就是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则,由于()f x 连续,0()lim ()n n f x f x a →∞=≥,即0x E ∈,因此E 就是闭集。

4、(1)设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==L 求出集列{}n A 的上限集与下限集证明:lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞,则存在N,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即2n x A ∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得lim n n x A →∞∈,又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈,则存在N,使任意n N >,有n x A ∈,因此若21n N ->时,211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得,此不可能,所以lim n n A φ→∞=(2)可数点集的外测度为零。

证明:证明:设{|1,2,}i E x i ==L 对任意0ε>,存在开区间i I ,使i i x I ∈,且||2i iI ε=所以1ii IE ∞=⊃U ,且1||i i I ε∞==∑,由ε的任意性得*0m E =5、设}{n f 就是E 上的可测函数列,则其收敛点集与发散点集都就是可测的。

证: 显然,{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏、 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测,所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测。

从而,对任一自然数k ,1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测。

故 011[lim lim ]n nx x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏ 可测。

既然收敛点集0E 可测,那么发散点集0E E -也可测。

6、设qR E ⊂,存在两侧两列可测集{n A },{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m (n A -n B )→0,(n→∝)则E 可测、证明:对于任意i ,i n n B B ⊂∞=1I ,所以 E B E B i n n -⊂∞=-1I又因为 E A i ⊂ ,i i i A B E B -⊂-所以对于任意i ,)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（I )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=令i →∝ ,由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n I 所以E B n n -∞=1I 就是可测的又由于n B 可测,有n n B ∞=1I 也就是可测的所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞=I I 就是可测的。

7、设在E 上()()n f x f x ⇒,而()()n n f x g x =..a e 成立,1,2n =K ,则有()()n g x f x ⇒设[]n n n E E f g =≠,则110n n n n m E mE ∞∞==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑U 。

σ∀>1n n n n E f g E E f f σσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤⊂⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭U U 所以1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤≤+⎡-≥⎤=⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭U因为()()n f x f x ⇒,所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤⎡-≥⎤≤⎡-≥⎤=⎣⎦⎣⎦即 ()()n g x f x ⇒8、证明:()A B A B '''⋃=⋃。

证明:因为A A B ⊂⋃,B A B ⊂⋃,所以,()A A B ''⊂⋃,()B A B ''⊂⋃,从而()A B A B '''⋃⊂⋃反之,对任意()x A B '∈⋃,即对任意(,)B x δ,有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集,从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立,即x A '∈或x B '∈,所以,x A B ''∈⋃,()A B A B '''⋃⊂⋃。

综上所述,()A B A B '''⋃=⋃。

9、证明:若()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈),则()()f x g x =..a e 于E 。

证明:由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥U ,而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥⊂-≥⋃-≥,所以,111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥,由()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈)得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=,1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=。

所以,1[]0mE x f g k-≥=,从而[()()]0mE x f x g x ≠=,即()()f x g x =..a e 于E 。

10、、证明:若()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒(x E∈),则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±(x E ∈)。

证明:对任意0σ>,由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-,所以,由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得,1()()2n f x f x σ-≥与1()()2n g x g x σ-≥至少有一个成立。

从而11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥,所以,11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。

又由()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒(x E ∈)得,1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=,1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=。

所以,lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=,即()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±(x E ∈)。

11、若()()n f x f x ⇒(x E ∈),则()()n f x f x ⇒(x E ∈)。

证明:因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-,所以,对任意0σ>,有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥⊂-≥,[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。

又由()()n f x f x ⇒(x E ∈)得,lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=。

所以,lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=,即()()n f x f x ⇒(x E ∈)。

12、证明:1R 上的连续函数必为可测函数。

证明:设()f x 就是1R 上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数a ,11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈就是开集,从而就是可测集。