1. 设(x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x 1,x 2∈[0,]都有21).()()(2121x f x f x x f ⋅=+(Ⅰ)设);41(),21(,2)1(f f f 求=(Ⅱ)证明是周期函数。
)(x f 2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+=(Ⅰ)判断函数的奇偶性;)(x f (Ⅱ)求函数的最小值.)(x f 3. 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+(Ⅰ)求函数的最小正周期和最大值;()f x (Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数在()y f x =区间上的图象,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x4.(本小题满分12分)求函数的最小正周期、最xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=大值和最小值.5.(本小题满分12分)已知在R 上是减函数,求的取值范围.13)(23+-+=x x ax x f a 6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ,求当A 为何值时,取得最大值,并2cos 2cos CB A ++求出这个最大值7.设a 为实数,函数在和都是增函数, 求x a ax x x f )1()(223-+-=)0,(-∞),1(+∞a 的取值范围.8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值.(Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)若对于任意的x 都有f (x )<c 2成立,求c 的取值范围.,3,0〔〔∈9.已知函数,.32()1f x x ax x =+++a ∈R (Ⅰ)讨论函数的单调区间;()f x (Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.()f x 2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭,a 10.在中,内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知,且ABC ∆222a c b -=,求b.sin 4cos sin B A C =11. 已知函数.42()36f x x x =-+(Ⅰ)讨论的单调性;()f x (Ⅱ)设点P 在曲线上,若该曲线在点P 处的切线通过坐标原点,求的方程()y f x =l l 12. 设函数图像的一条对称轴是直线)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ=x (Ⅰ)求;ϕ(Ⅱ)求函数的单调增区间;)(x f y =(Ⅲ)画出函数在区间上的图像)(x f y =],0[π13. 已知二次函数的二次项系数为,且不等式的解集为)(x f a x x f 2)(->3,1((Ⅰ)若方程有两个相等的根,求的解析式;06)(=+a x f )(x f (Ⅱ)若的最大值为正数,求的取值范围)(x f a解答:2. 解:(Ⅰ).7)2(,3)2(=-=f f 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-故既不是奇函数,也不是偶函数.)(x f (Ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.2,1,2,3)(22x x x x x x x f由于上的最小值为内的最小值为),2[)(+∞在x f )2,(,3)2(-∞=在f .43)21(=f故函数内的最小值为),()(+∞-∞在x f .433. 解xx x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x 所以函数的最小正周期为π,最大值为.)(x f 21+(Ⅱ)由(Ⅰ)知x 83π-8π-8π83π85πy121-121+1故函数在区)(x f y =间上的图象是]2,2[ππ-4. 解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数的最小正周期是,最大值是最小值是)(x f π,43.415. 解:函数f (x )的导数:.163)(2-+='x ax x f (Ⅰ)当()时,是减函数.0)(<'x f R x ∈)(x f )(01632R x x ax ∈<-+.3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以,当是减函数;))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时(II )当时,=3-=a 133)(23+-+-=x x x x f ,9831(33+--x 由函数在R 上的单调性,可知3x y =当时,)是减函数;3-=a R x x f ∈)(((Ⅲ)当时,在R 上存在一个区间,其上有3->a ,0)(>'x f 所以,当时,函数不是减函数.3->a ))((R x x f ∈综上,所求的取值范围是a 6. 解:由,222,AC B C B A -=+=++ππ得所以有.2sin 2cosAC B =+2sin2cos 2cos 2cos AA CB A +=++ 2sin22sin 212AA +-=.23)212(sin22+--=A当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π7. 解:),1(23)('22-+-=a ax x x f 其判别试.81212124222a a a -=+-=∆(ⅰ)若,26,08122±==-=∆a a 即当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a x x 所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以,232>a 即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a (ⅲ)若即,08122>-=∆a ,0)(',2626=<<-x f a 令解得.323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈依题意≥0得≤1.1x 2x 由≥0得≥1x a ,232a -解得1≤.26<a由≤1得≤32x,232a-,a-解得.2626<<-a从而.)26,1[∈a综上,a的取值范围为26,1[),26[26,+∞-∞-即∈a).,1[26,(+∞--∞9. 解:(1)求导:32()1f x x ax x=+++2()321f x x ax'=++当时,,,在上递增;23a≤0∆≤()0f x'≥()f x R当,由求得两根为23a>()0f x'=x=即在递增,递减,()f x⎛-∞⎝递增;⎫+∞⎪⎪⎭(2)(法一)∵函数在区间内是减函数,()f x2133⎛⎫--⎪⎝⎭,递减,∴,且,解得:2313--23a>。
2a≥22213x+2ax+10(,33g(x)=3x+2ax+1,2427g()32a+10a393a24111a2g()=32a+10393≤⎧≤⨯⨯≤⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎨⎪⎪≥⨯⨯≤⎩⎪⎩(法二)只需在区间--)恒成立即可。
令∴只需:--∴∴--10. 解:由余弦定理得,Abcbca cos2222-=-∵,,222≠=-bbca∴,即。
bAbcb2cos22=-2cos2+=Acb由正弦定理及得sin 4cos sin B A C =,cbC B A 2sin 2sin cos 2==∴,即。
22+=bb 4=b 11. 解:(Ⅰ))26)(26(464)`(3-+=-=x x x x x x f 令得或;0)`(>x f 026<<-x 26>x 令得或0)`(<x f 26-<x 260<<x 因此,在区间和为增函数;在区间和()x f )0,26(-),26(+∞26,(--∞为减函数。
)26,0((Ⅱ)设点,由过原点知,的方程为,))(,(00x f x P l l x x f y )`(0=因此,即,整理得x x f x f )`()(00=0)64(6303002040=--+-x x x x x ,解得或。
所以的方程为或0)2)(1(2020=-+x x 20-=x 20=x x y 2-=xy 2=12. 解:(Ⅰ)的图像的对称轴,)(8x f y x ==是函数π,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- (Ⅱ)由(Ⅰ)知432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为(Ⅲ)由知)432sin(π-=x yAl l x 08π83π85π87ππy22--1122-故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =13. 解:(Ⅰ)).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f ①.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=由方程②.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得因为方程②有两个相等的根,所以,094)]42([2=⋅-+-=∆a a a 即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于代入①得的解析式51.1,0-==<a a a 将舍去)(x f .535651)(2---=x x x f (Ⅱ)由aa a a a x a a x a ax x f 1421(3)21(2)(222++-+-=++-=及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得由 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a .03232<<+---<a a 或故当的最大值为正数时,实数a 的取值范围是)(x f ).0,32()32,(+----∞。