l 1 l 1 1 l l 1 i y1 yi K ( xi , x1 ) 2 i y 2 yi K ( xi , x 2 ) i j yi y j K ( xi , x j ) 2 i 3 2 i 3 2 i 3 j 3
目标函数：
其中：
求偏导：
可以由和其他参数表示出来。
SMO算法
SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出，幵成为最快
的二次规划优化算法，特别针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。
第一步选取一对参数，选取方法使用启发式方法（Maximal violating pair）。
统一：
b * , j { j | a j 0, y j 1} { j | 0 a j C} { j | a j C, y j 1} - y jd (a j ) * b , j { j | a j 0, y j 1} { j | 0 a j C} { j | a j C , y j 1}
求解：对偶问题
min
w ,b
max
a
f ( x) max min
a w ,b
f ( x)
求解
将两式带回L(w,b,a)得到对偶问题的表达式
1 2 L( w, b, a) w ai ( yi ( w xi b) 1) 2
1 L( w, b, a) ai yi xi a j y j x j ai yi w xi ai yi b ai 2 i, j
l 1 1 1 l 1 2 i 1 1 K ( x1 , x1 ) 1 2 y1 y 2 K ( x1 , x2 ) 1 i y1 yi K ( xi , x1 ) 2 2 2 i 3 i 3
l 1 1 1 1 2 y1 y 2 K ( x1 , x2 ) 2 2 K ( x2 , x2 ) 2 i y 2 yi K ( xi , x2 ) 2 2 2 i 3
等价于：
b 如果对于： 可以判断： m(a * ) M (a * ) 0 满足： 不满足：
b
b
停止条件2
停止条件3
启发式选择算法
其他求解方法
选块算法
分解算法
分解算法
工作集的选取
相关软件
问题
On the Algorithmic Implementation of Multiclass Kernel-based Vector Machines
l
优化目标：
max
a
s.t.
y
i 1 i
l
i
0
i 1,..., l
0 i C,
其中C为人为设定，x，y为已知数
问题？
实际上在处理大型问题时，由于存储和计算两方面的要求，这些算法
往往会失效。
这些算法都要存储不训练集相应的核矩阵，然而存储核矩阵所需要的
内存是随着训练集中训练点数L的平凡增长的。
软支持向量机求解
构造拉格朗日公式：
求偏导数：
求解问题
数据集合：
T {( x1 , y1 ),..., ( xl , yl )} ( R n y)l
xi R n , yi Y {1,1}, i 1,..., l
1 l l i 2 yi y j i j K( xi , x j ) i 1 i 1 j 1
l
优化目标：
max
a
s.t.
y
i 1 i
l
i
0
x，y为已知数
核函数
线性不可分的情况
我们可以为分错的点加上一点惩罚，对一个分错的点的惩罚函数就是
这个点到其正确位置的距离：
软间隔C-SVM
C是一个由用户去指定的系数，表示对分错的点加入多少的 惩罚，当C很大的时候，分错的点就会更少，但是过拟合的 情况可能会比较严重，当C很小的时候，分错的点可能会很 多，不过可能由此得到的模型也会不太正确
带入w, v： 求得：
参数的求解
最终参数的解为：
其中： 0 2
new
C 和 0 1
new
C
？
a的取值范围
当a1和a2异号时，也就是一个为1，一个为-1时，他
们可以表示成一条直线，斜率为1。如下图：
a1-a2=E 横轴是
，纵轴是 ，
a2 和 既要在矩形方框内， C
{
(C,C-E)
(2) 用SVM解决多分类问题存在困难
经典的支持向量机算法只给出了二类分类的算法，而在数据挖掘的实际应用中，一
般要解决多类的分类问题。可以通过多个二类支持向量机的组合来解决。主要有一 对多组合模式、一对一组合模式和SVM决策树；再就是通过构造多个分类器的组合 来解决。主要原理是克服SVM固有的缺点，结合其他算法的优势，解决多类问题的 分类精度。如：不粗集理论结合，形成一种优势互补的多类问题的组合分类器。
l
1 l 1 l 1 l l 1 2 i 1 j yi y j K ( x1 , x j ) 2 j yi y j K ( x2 , x j ) i j yi y j K ( xi , x j ) 2 i 1 2 i 1 2 i 3 j 1 i 3
例如，当训练点数目超过4000时，存储核函数矩阵需要多达128兆。
求解方法：坐标上升法
min
a l 1 l l y i y j i j K ( xi , x j ) i 2 i 1 j 1 i 1
固定除 i 之外的所有参数，这时W可看作只是关于 i 的函数，那么直接对 i
维空间的非线性映射；
(2)对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标,最大化分类边际的思
想是SVM方法的核心；
(3)支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定作用的是支
持向量。因此，模型需要存储空间小，算法鲁棒性强；
(4)无序任何前提假设，丌涉及概率测度；
(1) SVM算法对大规模训练样本难以实施
f ( x, y ) w w f ( x, y ) w w 1 w w
M
max 2M 2 w
目标函数： 等价于： 因为 w 单调， ： 并且为了计算方便
min
min
w
1 w 2
2
求解问题
数据集合：
T {( x1 , y1 ),..., ( xl , yl )} ( R n y)l
第二步，固定除被选取的参数之外的其他参数，确定W极值。
SMO算法
设我们选取了初始值满足了问题中的约束条件。接下来，我们固定，
这样W就是和的函数。幵且和满足条件：
由于其余参数都是已知固定，因此为了方便，可将等式右边标记成实
数值。
SMO算法
迚而
W (a) i
i 1 l
1 l l i j yi y j K ( xi , x j ) 2 i 1 j 1
求解问题
数据集合：
T {( x1 , y1 ),..., ( xl , yl )} ( R n y)l
xi R n , yi Y {1,1}, i 1,..., l
1 l l i 2 yi y j i j K( xi , x j ) i 1 i 1 j 1
也要在直线上，因此
同理，当
(0,-E)
和
同号时
{数计算：
参数b计算：？
b的求解
设
在界内，则
有
，带入上式得：
两边同乘以
，得
b的求解

在界内，则

在界内，则

、
都在界内，则情况1和情况2的B值相等，任取一个； 取值为情况1和情况2之间的任意值。
都丌在界内，则
问题？
算法如何终止？
由于SVM是借助二次规划来求解支持向量，而求解二次规划将涉及m阶矩阵的计算
（m为样本的个数），当m数目很大时该矩阵的存储和计算将耗费大量的机器内存
和运算时间。针对以上问题的主要改迚有有J.Platt的SMO算法、T.Joachims的 SVM、C.J.C.Burges等的PCGC、张学工的CSVM以及O.L.Mangasarian等的SOR 算法
对于SMO算法，其中的两个参数如何选择呢？
随机？启发式规则
一个自然的想法是那些违反KKT最严重的点，他们对间距贡献最大， 因此可以通过该启发规则来完成调整参数的选取。（幵且此种启发 规则计算量小）
停止条件1
满足KKT条件
KKT条件：
并设 代入得：
0, j { j | a j 0} d (a j ) b * y j 0, j { j | 0 a j C} 0, j { j | a j C}
b * , j { j | a j 0, y j 1} { j | 0 a j C} { j | a j C, y j 1} - y jd (a j ) * b , j { j | a j 0, y j 1} { j | 0 a j C} { j | a j C , y j 1}
b * y j , j { j | a j 0} - d (a j ) b * y j , j { j | 0 a j C} 左移： * b y j , j { j | a j C}
分别乘以yi：
b * , j { j | a j 0} - y jd (a j ) b * , j { j | 0 a j C}，当y j 1 * b , j { j | a j C} b * , j { j | a j 0} - y jd (a j ) b * , j { j | 0 a j C}，当y j 1 * b , j { j | a j C}