1 ∴iC (0) = δ (t ) A 2
1 + u C (0 + ) = ∫ 0 0.5δ (t )dtV = 10 V 0.05 1 τ = RC = 20 × 0.05S = 1S u(0+ ) = uC (0+ ) = 5 V
2 h (t ) = uδ (t ) = [5δ (t ) + 5e t ε (t ) ]V
t
t
t
当 0<t <1S 时
rzS (t) = ∫ e ε (τ )dτ = ∫ e dτ = 1 e
0 0
t
τ
t
τ
t
当 t >1S 时
面积 = rzS (t )
rzS (t) = ∫ e ε(τ )dτ = ∫ eτ dτ = e(t1) et
t1 t1
t
τ
t
分时间段表示 当 0<t <1S 时 当 t >1S 时
dτ
t
= e
1
α
ατ 0+
=
1
α
(1 e
αt
)ε ( t )
设图示RC串联电路中电压源的电压 例2 设图示 串联电路中电压源的电压
u (t ) = u 0
t e T ε (t )
零状态响应电压u . 求 零状态响应电压 C(t). 用卷积积分公式求u 解 用卷积积分公式求 CzS(t),应先求冲激响应 ,
∑ f ( kτ ) τ h (t kτ )
k =0 t
n 1
用 ∞ 多个强度不同 , 依次 连续出现的冲击函数分 别单独作用产生的 rzS 之 和来代替 f ( t )产生的 rzS
rzS ( t ) =
∫
0
f (τ )h ( t τ ) d τ
五,卷积积分几何解释 的卷积, 求f(t)与h(t)的卷积,实质上是求一个新函数 与 的卷积 的区间内的定积分. f(τ)h(tτ)在τ 由0到t的区间内的定积分.根据 在 到 的区间内的定积分 定积分的几何意义,函数在0到 区间内的定 定积分的几何意义,函数在 到t区间内的定 积分值,决定于被积函数f( 积分值,决定于被积函数 τ)h(tτ)的曲线在 的曲线在 轴之间所限定的面积. 该区间内与τ 轴之间所限定的面积. 设
f (t) = ε (t)
f(t)
h(t ) = e ε (t )
rzS (t ) = f (t ) h(t ) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ
0 t
t
t h(t)
rzS (t) = h(t) f (t) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ
0
t
t
rzS (t) = f (t) h(t) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ
注意 卷积计算法只用于求r 卷积计算法只用于求 zS(t) 首先要求h(t) 首先要求
求零状态响应u(t) 例4 iS(t)的波形如图 所示 求零状态响应 的波形如图 所示,求零状态响应
δ (t) A iS (t )
iC (t) + uC(t) -
∵uC (0 ) = 0 解 先求冲激响应 1 u ( 0 ) = δ ( t ) × 10 = 5δ ( t )V 2 0
1 uC ( 0 + ) = C 1 1 δ (t )dt = R RC
∫
0+ 0
1 h (t ) = e RC
t RC ε (t )
零状态响应电压为
u C (t ) =
∫ = ∫u e
0 t
0 0
t
u (τ ) h ( t τ ) d τ
τ
T
1 ε (τ ) e RC
t τ RC
ε (t τ ) dτ
n 1
fa(t) 第K+1个 个
3 1 2 n t
1
f (t ) ≈ f a (t ) = ∑ f ( kτ )[ε (t kτ ) ε (t ( k + 1) τ )] ε (t kτ ) ε (t (k + 1)τ ) = ∑ f (kτ ) τ τ k =0
k =0 n 1
解2 按rzS (t ) = h(t ) f (t ) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ 计算
f (τ )
0
t
h (τ )
f (τ )
1
τ
τ
-1
0
τ
当 0<t <1S 时
面积 = rzS (t )
rzS (t) = ∫ e ε (τ )dτ = ∫ e dτ = 1 e
τ τ 0 0
§4-6卷积积分及零状态响应的 卷积积分及零状态响应的 卷积计算法 Convolution integral
一 卷积积分的导出
用n个矩形脉冲来近 个矩形脉冲来近 似代替连续函数f(t) 似代替连续函数 用冲击函数来近似 代替矩形脉冲 用n个冲击函数分别 个冲击函数分别 单独作用产生的r 单独作用产生的 zS(t) 之和来近似代替f(t) 之和来近似代替 产生的r 产生的 zS(t)
用∞多个强度不同 , 依次 连续出现的冲击函数之 和来代替连续函数 f (t )
用 n 个强度不同 , 断续出 现的冲击函数分别单独 作用产生的 rzS 之和来近 似代替 f ( t ) 产生的 rzS
∑
n 1
→
∫
t 0
dt
f (t ) = ∫ f (τ )δ (t τ )dτ
0
t
≈→=
rzS ( t ) ≈
t t t ( t 1)
∫ e dτ = e (e e) = (1 e )ε (t 1) t (t1) ∴rzS (t) = (1 e )ε (t) (1 e )ε (t 1) ∫e
1 t t 1
( t τ )
dτ = e
τ
积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定. 积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定. 用作图的方法可方便地确定出积分上下限. 用作图的方法可方便地确定出积分上下限.
u C (t ) =
∫
t
0
u (τ ) h ( t τ ) d τ
0
=
∫u
0teτ源自T1 ε (τ ) e RC
t RC
t τ RC
ε (t τ ) dτ
u0 = e RC
u0 e = RC
∫e
0+
t
T RC τ RCT
dτ
t
t RC
1 T RC RCT
e
T RC τ RCT
0+
t t u 0T T = e e RC T RC
k =0 =0
n 1
NzS →
∑
n 1
f (kτ )τ h (t kτ )
k =0
≈ f (t )
n 1 k =0 n 1
≈ rzS (t )
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
3
rzS ( t ) ≈
∑
f (k τ ) τ h (t k τ )
k =0
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
k =0
n 1
δ (t ) → NzS → h(t)
δ (t Kτ ) → NzS → h(t kτ )
f ( kτ ) τδ ( t kτ ) → NzS → f ( k τ ) τh ( t k τ )
∑ f (kτ )τδ (t kτ ) →
∵δ (t ) f (t ) = ∫ δ (τ ) f (t τ )dτ = f (t )∫ δ (τ )dτ = f (t )
t t
δ (t ) f (t ) = f (t ) δ (t ) = f (t )
δ (t t0 ) f (t ) = ∫ δ (τ t 0 ) f (t τ ) dτ
0
t
rzS (t) = ∫ [ε (τ ) ε (τ 1)]e(tτ )ε (t τ )dτ
t 0 t
= ∫ ε (τ )e
0 t
(t τ )
ε (t τ )dτ ∫ ε (τ 1)e
0 t 1
t
(t τ )
ε (t τ )dτ
=∫ e
0
(t τ )
dτ ∫ e(tτ )dτ
rzS (t) = ∫ [ε (τ ) ε (τ 1)]e(tτ )ε (t τ )dτ
0
t
f(t)
h(t)
t
t
将h (τ )取纵轴 的镜象对称
把h( τ )向右 平移到t
t 0
作f (τ )h(t τ )曲线
求面积
褶迭
Convolution
面积 = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ = rzS (t )
如按式 rzS ( t ) = h ( t ) f ( t ) =
∫ h (τ ) f ( t τ ) d τ计算
t 0 t 0
0
0
= f (t t0 )∫ δ (τ t 0 )dτ = f (t t0 )
三 卷积积分的计算举例 例1 求卷积 [e 解
α t
α t
ε (t )] ε (t )
t ατ 0
[e ε (t)] ε (t) = ∫ e ε (τ )ε (t τ )dτ
=∫ e
0+ t ατ
∫ (t ) = ∫
f (τ )δ ( t τ ) d τ
f (τ )h ( t τ ) d τ
= f (t) δ (t)
=
f (t ) h (t )
记为