(
归纳：让连接于节点①的自电导用G11表示，连接于节点②
的自电导用G22表示，连接于节点③的自电导用G33表示，跨 接在任意待求两节点之间的公共电导分别用G12、G21、G23、 G32、G13、G31表示；汇集于节点①、②、③上的等效电流源 分别用ISS1、ISS2和ISS3（或USS1/RS1等）表示时，节点电压方程 式的一般表达形式可写作： G11V1 G12V2 G13V3 U SS1 / RSS1 (或I SS1 )
（3）用KVL和欧姆定律，将节点电流用节点电压的 关系式代替，写出节点电压方程式； （4）解方程，求解各节点电压； （5）由节点电压求各支路电流及其它响应。
4. 应用举例
例
I1
R1=7Ω
＋ － U1 _ +
用节点电压法求解下图所求电路中各支路电 流。 选取节点②为参考节点，求U1：
I3
R3=7Ω
①
A＋
IS1 I1
R1
US3
－
R3 I3 B
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
再根据欧姆定律可求得：
VA I1 R1
VB I2 R2
VA VB U S3 I3 R3
VA I4 R4
I5
VB R5
如果用回路电流法，由于此电路有5个网孔，所 以需列5个方程式联立求解，显然解题过程繁于节点 电压法。因此对此类型（支路数多、节点少，回路多） 电路，应选择节点电压法解题。
（2）应用KCL列写n-1个独立节点方程式。 （3）应用KVL定律列写m-n+1个独立电压方程式。 （4）联立求解方程，求出m个支路电流。
4. 应用举例 例
用支路电流法求解下图所求电路中各支路 电流，用功率平衡校验求解结果。
①
图示电路节点n=2，支路m=3 选取节点①列写KCL方程式： I1 I2 I3 I1+I2－I3=0 ① R2=11Ω R1=7Ω R3=7Ω Ⅱ Ⅰ ＋ ＋ 选取两个网孔列写KVL方程： US1=70V US2=6V 对网孔Ⅰ：7I1+7I3=70 ② － － 对网孔Ⅱ：11I2+7I3=6 ③ ②
说说节点电压法的适用范围，应用节点电压 法求解电路时，能否不选择电路参考点？
节点电压法适用于支路数较多，节点数目较少的 电路，待求量节点电压实际上是指待求节点相对于电 路参考点之间的电压值，因此应用节点电压法求解电 路时，必须首先选定电路参考结点，否则就失去了待 求节点的相对性。
♣比较回路电流法和节点电压法，你能从中找 出它们相通的问题吗？
G22V2 G21V1 G23V3 G33V3 G32V2 G31V3
U U
SS2 SS3
/ RSS2 (或I SS2 ) / RSS3 (或I SS3 )
式中等号左端的自电导G11、G22、G33恒为正值，互电导 G12、G21、G23、G32、G13、G31恒取负值；等号右边为各节点 汇集电流，如果是恒流源直接取其值，如果是电压源，则可 根据电压源与电流源的等效条件求出其等效的电流源US/RS， 并且令指向节点的电流取正，背离节点的电流取负。
－
根据回路电流和支路电流的关系 I2=IⅡ=－2A；I1=IⅠ=6A ；I3=IⅠ+IⅡ=4Aຫໍສະໝຸດ US2=6V思考 回答
1. 说说回路电流与支路电流的不同之处，你能很快 找出回路电流与支路电流之间的关系吗？
2. 试用回路电流法对下图所示电路进行求解，通过 求解阐述回路电流法的适用范围。
_
US3 + US1_ R1 R4
I2
US1=70V
②
U1=-I2R2+US2 ③ 812 70/7+6/11 － 所以：U1= 1/7+1/7+1/11 = 29 = 28V V1代入①②③得：I1=6A；I2=－2A；I3=4A
US2=6V
＋
I1+I2－I3=0 因为：U1=-I1R1+US1 ① R2=11Ω U1=I3R3 ②
I1 I4 I3
+
R3
I5 I2
R2 _
R5
R6
I6
US2 +
支路电流是客观存在于各条支路中的响应，一般 是电路分析求解的对象；回路电流则是为了减少电路 分析中方程式的数目而人为假想的电路响应，由于回 路电流对它所经过的电路节点，均流入一次、流出一 次，因此自动满足KCL定律，这样在电路求解的过程 中就可省去KCL方程，对节点数较多、网孔数较少的 电路十分适用。 回路电流经过的各条支路，若支路上仅流过一个 回路电流，则这个支路电流在数值上就等于该回路电 流，方向与回路电流一致时为正，相反为负；公共支 路上通过两个回路电流，即支路电流在数值上等于这 两个回路电流之代数和，与支路电流方向一致的取正 值，与支路电流方向相反的取负值。
用节点电压法求解节点n=2的复杂电路时，显然只需 列写出2-1=1个节点电压方程式，即： US
例
① I2 R2 + US2 _
+
I1 R1 + US1 _
I3 R3
I4 R4
－
V1
R
S
1 R
U1 _
＋
US4
此式称弥尔曼 定理。是节点 电压法的特例
US1/R1+US2/R2－US4/R4 直接应用弥尔曼定理求V1可得 U1 = 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4
注意：式中分子部分为各支路恒压源与其支路电阻之 比的代数和，其中恒压源正极与节点①相近时取正， 反之取负；分母则为各支路电导之和。
应用节点电压法求解电路的一般形式为：
_ ① +
US1 _
R1
+ U14 _ I1
I3
US3 I4 ②
R4
+
+
选取节点④作为参考节点：U4=0
R3
I5 I2
_
对节点①列节点电压方程：
R1上吸收的功率为：PR1=62×7=252W R2上吸收的功率为：PR2=(－2)2×11=44W R3上吸收的功率为：PR3=42×7=112W US1上吸收的功率为：PS1=－(6×70)=－420W 发出功率
US2上吸收的功率为：PS2=－(－2)×6=12W 吸收功率 元件上吸收的总功率：P=252+44+112+12=420W 电路中吸收的功率等于发出的功率，计算结果正确
+ U34
③
(
R2
_
R5
U U 1 1 1 1 1 )U 1 U 3 U 4 S1 S3 R1 R3 R4 R3 R4 R1 R3 1 1 1 称为自电导， R1 R3 R4 1 1 和 称 R3 R4
US2
U24
R6 与本节点相连的电导
+
I6 _
恒为正值；跨接于两节点之间的电导
思考 练习
用节点电压法求解下图所示电路，与回路电流法相比较， US3 R I 能得出什么结论？ A＋ － 3 3 B
IS1 I1
R1
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
此电路节点n=3，用节点电压法求解此电路时，只需列出 3-1=2个独立的节点电压方程式： U S3 1 1 1 1 ( )VA VB I S1 R1 R3 R4 R3 R3 U S3 1 1 1 1 ( )VB VA I S2 R 2 R3 R5 R3 R3
_ +
US1 _ R1
I3 US3 I c I4
+
R3 I5 I2 R5
R4
以三个自然网孔作为独立回路， 各回路电流分别为Ia、Ib、Ic。 (R1+R4+R2)Ia－R4Ic－R2Ib=US1+US2
1. 定义
2.1 支路电流法
以支路电流为未知量，根据基尔霍夫两定律列出 必要的电路方程，进而求解客观存在的各支路电流的 方法，称支路电流法。
2. 适用范围
原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多 时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路 数较少的电路。
3. 应用步骤
（1）确定已知电路的支路数m，并在电路图上标 示出各支路电流的参考方向；
以假想的网孔电流为未知量，根据KVL定律列出 必要的电路方程，进而求解客观存在的各支路电流的 方法，称网孔电流法。
2. 适用范围
适用于支路数较多但网孔数较少的复杂电路。
3. 应用步骤
（1）选取自然网孔作为独立回路，在网孔中标出各 回路电流的参考方向，同时作为回路的绕行方向； （2）建立各网孔的KVL方程，注意自电阻压降恒为 正，公共支路上的互阻压降由相邻回路电流而定；
④ 同理可得节点②和③ 的节点电压方程式为：
(
为互电导，恒取负值。方程式右边为连接到本结 点上的各恒压源与其支路电阻的比值，若恒压源 由负到正指向节点时取正，反之取负。
U 1 1 1 1 1 )U 2 U1 U 3 S2 R2 R4 R5 R4 R5 R2 U 1 1 1 1 1 )U 3 U2 U 1 S3 R5 R3 R6 R5 R3 R3
例
＋
用节点电压法求解下图所示电路中各支路电 流。
2Ω① 2Ω －2V ＋
②
I3
0.5Ω 1A
I4
①
1A 1Ω
1A 1Ω
②
1A 0.5Ω
I1
2V
I2 2Ω I5
2Ω
－
首先将电路中所有电压源等效为电流源如上面右图示 列出节点电压方程：①（1+1）V1－V2=1-1=0 ②（1+1/0.5）V2－V1=1+1 可解得：V1=0.4V; V2=0.8V; V12=V1－V2=0.4－0.8=－0.4V 各支路电流分别为：I1=(2-0.4)/2=0.8A；I2=0.4/2=0.2A I3=0.8/0.5=1.6A；I4=(2－0.8+0.4)/2=0.8A ； I5=(0.4－0.8)/2=－0.2A