二元函数的泰勒公式
1、一元函数泰勒公式：
对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数来近似表达（多项式近似表达函数）
例如：
1~+x e x
x x ~)1ln(
+ 上式只有当，误差才是比x 的高阶无穷小。

0→x 但是：不能具体估计出误差的大小。

泰勒定理（Taylor ）:函数)(x f y =在含有的开区间(a , b)内具有直到n+1阶导数,当x 在(a , b)内时，可以表示为x-的一个n 次多项式，与一个余项之和：
0x )(x f y =0
x )(x R n （1）n 阶泰勒公式： )(!
1)()()(000x x x f x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+300)(!
3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x x n x f )(!
)(00)(-+ )(x R n （2）拉格朗日型余项：
)(x R n =10)1()()!
1()(++-+n n x x n f ξ （3）函数按x-的幂展开的n 次近似多项
式：
0x )(!
1)(f )()(000x x x x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+3)00(!3)(x x x f -'''+400)4()(!
4)(x x x f -+……+
n n x )0-x n x f (!
)(0)( 其中：=
)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ ξ为与x 之间的某个值
0x = )(x R n ])[(0
n x x o -（4）迈克劳林公式
当取=0，则0
x ξ为0与x 之间，因此可以令x θξ=)10(<<θ从而使泰勒公式变成较简单的形式： )(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!
3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!
)0()(+ 1)1()()!1()(+++n n x n x f θ )10(<<θ
由此可以得到近似公式：
)(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+
4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!
)0()( 2、 二元函数泰勒公式：
对于多元函数来说，也必须考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并具体估算其误差的大小。

定理：
设二元函数),(y x f z =在点的某一邻域内连续且具有直到n+1阶连续偏导数，),(00y x ),0k y h (0x ++是此区域内任一点，则有：
),(00k y h x f ++=),()(),(0000y x f y
k x h y x f ∂∂+∂∂++),((!21002y x f y k x h ∂∂+∂∂+),()(!31003y x f y
k x h ∂∂+∂∂+……+),((!100y x f y k x h n n ∂∂+∂∂+)
,(()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++∂∂+∂∂++)10<<(θ
其中：
（1）
),()(00y x f y
k x h ∂∂+∂∂=),(),(0000y x kf y x hf y x +
),()(002y x f y k x h ∂∂+∂∂=
),(2),(),(00002002y x hkf y x f k y x f h xy yy xx ++
（2）
),()(00y x f y
k x h m ∂∂+∂∂=∑=-m p p m p p m k h C
0-∂∂y x p m p m y x f ),(00
（3）拉格朗日型余项： =)(x R n ),()()!1(1001k y h x f y
k x h n n θθ++∂∂+∂∂++ （4）n 阶迈克劳林公式：
=),(y x f )0,0()()0,0(0f y k x h f ∂∂+∂∂++)0,0((!212f y k x h ∂∂+∂∂+)0,0((!313f y
k x h ∂∂+∂∂+……+)0,0((!1f y k x h n n ∂∂+∂∂+),()()!1(11y x f y k x h n n θθ+∂∂+∂∂+。