西南名校联盟高考适应性月考卷12月考文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBDCABACDCBA【解析】1．因为{101}A =-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选D ．2．12()f x xx-==，()f x 的定义域为(0)+∞，，因此A ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，B 正确，故选B ．3．该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +>⎧=⎨-⎩，，，，≤当8y =时，098x x >⎧⎨+=⎩，或2018x x ⎧⎨-=⎩≤，，解得3x =-，故选D ．4．试验发生包含的事件总的时间长度为24小时，其中播放音乐时间为245613--=（小时），所以某人随机在某一时刻打开该广播收听到音乐或新闻的概率为1353244+=，故选C ． 5．因为c 为单位向量，所以222222112113939c a kb a ka b k b k ⎛⎫=+=++=+= ⎪⎝⎭，又0k >，所以22k =A ． 6．因为当0tan tan 1AB <<时，tan 0A >，tan 0B >，所以tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+tan tan 01tan tan A BA B+=-<-，则C 为钝角；但当A 为钝角时，tan tan 0A B <，故选B ．7．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，B 错误；()(0)()f b f f c >>，C ，D 错误；()()()f c f d f e <<，A 正确，故选A ．8．如图1，设焦点F 关于直线3y 的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线3y =的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF '的中点，可得OQ PF '∥，所以90F PF OQF '∠=∠=︒，则OP OF =，又图13tan QOF ∠=，所以30QOF ∠=︒，则60POF ∠=︒，又因为P 在渐近线上，所以tan 3bPOF a∠=，即3b a =．经检验，只有C 选项满足条件，故选C ． 9．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a =+=，则864864211111222a a a a ++++++++=+++ 221341+=，故选D ．10．如图2，设截面为α，设BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，∴α平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP为梯形，故选C ．11．因为22|||i |1z x y x y =++=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -，的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=，故选B ．12．因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数.当π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =- sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()h x 在π04⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ22044h ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x '>在π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()g x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 141516答案 212- 13a -≤≤59【解析】13．因为ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．图214．如图3，作出可行域，则3yk x =-表示可行域内的动点()x y ，与定点(30)P ，连线的斜率，所以当且仅当动点取点(11)A ，时，min 12z =-． 15．由于A ，B 均在直线l ：2y x =上，又l 与椭圆C 的交点分别为(12)M ，，(12)N --，，且||||25MN AB ==A 或点B 在线段MN 上，均能保证线段AB 与椭圆有公共点，即11a -≤≤或121a --≤≤，所以13a -≤≤．16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=，所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点．当△ABC 为锐角三角形时，过点P 作B C BC ''∥，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ．设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ''===，则AP x AB y AC x k AB y k AC ''''''=+=+=xAB y AC +，所以x x k '=，y y k '=，()x y k x y k ''+=+=，所以为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ''，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又||||||||||AM AM AN AM MN =+ 1||1||MN AM =+，所以当||5AM r ==时，max ||154||915AP AR ==+．方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+可得()AP x AP PB =++ ()y AP PC +，所以(1)(*)x y AP xPB yPC --=+，则101x y x y -->⇒+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R --=+∠+．又27cos 2cos 125BPC A ∠=-=，所以上式整理可得3622125xy x y =+-．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2()4x y xy +≤．令t x y =+，则2950250t t -+≥，解得5t ≥(舍去)或59t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以max 5()9x y +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点，图3 图4∴||||||22OB MC OC ===． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形， ∴(13)M ，，3A = 又2π2ππ42T ω===， ∴π()3sin2f x x ． ………………………………………………………（6分）（2）πππ()3sin (1)3sin 444g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令πππ3π2π2π()2442k x k k +++∈Z ≤≤， 得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选择2个采样地，所有选择方式为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE （共10种）， 其中BC ，CD 可满足标本数量至少达到总标本数量的一半.令P 为两个采样地所含标本数量至少达到总标本数量一半的概率，则21105P ==．………………………………………………………（6分）（2）由表格数据可得，515222155008.5597229.73.3360052795iii i i x yx yb x x==--⨯===-=--⨯-∑∑， ∴36 3.327125.1a y bx =-=+⨯=，∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+．∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ， ∵PB PD =，O 为BD 的中点， ∴PO DB ⊥． 同理，QO DB ⊥，图5又PO OQ O =，PO ，OQ ⊂平面POQ ， ∴BD ⊥平面POQ ． 又BD ⊂平面ABCD ， ∴平面POQ ⊥平面ABCD ．……………………………………………（5分）（2）解：如图，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点， 且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形， ∴PQ AC ∥．且1212232232333PQ O O AO AO ==⨯==⨯⨯=，∴222221112432343PO AP AO AP O O ⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 取BC 的中点E ，则22162133QE QB BE =-=-=， 又由（1），平面POQ ⊥平面ABCD ， 而平面POQ平面ABCD AC =，BO AC ⊥，∴BO ⊥平面PQC ．设点P 到平面QBC 的距离为d ，则由P QBC B PQC V V --=，可得1133QBC PQC S d S BO =△△ ，即1111332QE BE d PQ PO BO =⨯ ， 即2112332332d ⨯=⨯⨯⨯， 解得27d =．……………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上， ∴00242px x p=⇒=， ∴点A 到准线的距离为2025540222p p x p p p +=+=⇒-+=，解得4p =或1，∴当4p =时，C ：28y x =，122A ⎛⎫⎪⎝⎭，；当1p =时，C ：22y x =，(22)A ，．…………………………………………………（4分）（2）∵4p <，∴C ：22y x =，设MN ：1x my =+，代入抛物线方程可得2220y my --=， 设11()M x y ，，22()N x y ，， 则121222y y m y y +=⎧⎨=-⎩，，∴||MN = 又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：11x y m=-+，∴||PQ =∴1||||2MNPQ S MN PQ ==四边形2(2)m =+ 252m =+∵2212m m+≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴12MNPQ S 四边形≥，∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12．……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）证明：（1）令2525()()ln 33g x f x x x x =+-=+-， 则22122()x g x x x x-'=-=， ∴当2x >时，()0g x '>， ∴()g x 在(2)+∞，上单调递增．又2(2)ln 23g =-，而22ln 233e e 2e -=-，328=，2323(e )e = 2.83e =>， ∴2(2)ln 203g =->， ∴25()3f x x -+<在(2)+∞，上恒成立． 令()()ln 22x x h x f x x =-=-，则112()22x h x x x -'=-=，∴当2x >时，()0h x '<， ∴()h x 在(2)+∞，上单调递减． 又(2)ln 210h =-<， ∴()2xf x <在(2)+∞，上恒成立． 综上，当2x >时，25()32xf x x -+<<恒成立．……………………………………………（6分）（2）∵22ln 22n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，而22222n n +>+，（*） 所以令（*）中不等式的2222242222n n x n n n n++=+=++，则有22225112132n n n a n n n n+-+<<++++，则一方面，22222255211212133213(1)n n n n n a n n n n n +++->-+=-=+>+++++ 213(1)(2)n n +++211312n n =+-++， ∴21111112113233412322n S n n n n n ⎛⎫>+-+-++-=+- ⎪+++⎝⎭…2112132336n n >+-=+． 另一方面，111111(2)22n a n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪++⎝⎭，∴111111111111232422212n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=++-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭…3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 综上，有213364n n S n +<<+．……………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=， 又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=， 即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程，将222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=， 即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．…………………………………（5分）（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程， 可得1||2cos A OA ρθ==，11||π2sin 4B OB ρθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴1||||2(sin OA OB == ．又1ππ43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴1tan (1θ∈，∴||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． ………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =-， ∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥， 其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a --+≤， ∴min ()|43|f x a =-，∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-⇔-≥≥，∴432a -≥或432a --≤，即23a ≤或2a ≥．…………………………………………………（5分）（2）证明：∵222a b ab +≥， 222b c bc +≥222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥， ∴222a b c ab bc ca ++++≥，2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++，∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 其中“=”当且仅当1a b c ===． ………………………………………………（10分）。