这是一个通式， 这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可 使用这一公式求得 k 值 将上式中的 N 0 = 1.3, N1 = 6.8, N 2 = 9.5代入 k2 式，得
k2 = 9.78 即为 k 的解
相对应的各个Y值 将k=9.78代入 Y = ln k − N 可得和 相对应的各个 值 代入 可得和t相对应的各个
第十章
曲线回归
本章介绍可以直线化的曲线回归的类型， 本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 曲线回归方程的拟合度
第一节 曲线回归的意义
直线回归的局限 1、两变量之间的关系不完全是直线关系 、 2、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 、 3、两变量间更普遍的关系是曲线关系 、 4、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 、 5、直线回归是曲线回归中的一部分 、
从数据表中取三个等距的点代入上式（ 从数据表中取三个等距的点代入上式（一般总取始 中点、末点） ）、（5，6.8）、（ ）、（9， 点、中点、末点）：（1，1.3）、（ ）、（ ）、（
9.5） ）
k − 1.3 ln = a+b 1.3 k − 6.8 ln = a + 5b 6.8 k − 9.5 ln = a + 9b 9.5
（四）S型曲线 型曲线
k y= 1 + aebx
k y= 1 + e a +bx
陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、 陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细 胞的生（ 胞的生（增）长等都是这一模式 因此， 型曲线又称为生长型曲线 型曲线又称为生长型曲线、 曲线， 因此，S型曲线又称为生长型曲线、logistic曲线， 曲线 其变换形式有以下几种： 其变换形式有以下几种：
y = a (1 − be
)
在这些曲线方程中，无一例外的都有 个需要计算 在这些曲线方程中，无一例外的都有3个需要计算 的统计量： 的统计量：k、a、b K 是当 x 趋向于 +∞时 y 所能达到的最大值，往往 能达到的最大值， 时 是未知的， 是未知的，因此也是需要进行计算的 这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方 往往是时间单位， 这些曲线方程中的 x 往往是时间单位，因此一般可 表示， 往往是群体的增长量， 用 t 表示，而 y 往往是群体的增长量，或群体增 长倍数， 长倍数，所以也可以用 N 表示 型曲线方程进行直线化， 我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化，其 他变换类型的方程直线化可以仿此进行
（三）双曲线函数 y = a + b x 1 令： = X 则 y = a + bX 对x求X 即可得 y = a + bx 中的 a、b 的倒数， 一起输入） （倒数变换，即取 x 的倒数，与 y 一起输入） 倒数变换， 此外还有一些曲线方程： 此外还有一些曲线方程：y = axe
bx
x
下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形： 下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：
R = R 2 = 0.9770 = 0.9885 > R0.01,7 = 0.798,∴ p < 0.01
同一批数据如果拟合了多条曲线回归方程， 同一批数据如果拟合了多条曲线回归方程，应当将 每一条曲线方程的相关系数相比较， 每一条曲线方程的相关系数相比较，原则上哪一 个曲线方程的相关系数大， 个曲线方程的相关系数大，哪一个曲线方程就是 最好的， 最好的，当然还应当结合专业知识来进行判断
得一级数据： 得一级数据：
∑ t = 45 ∑ t =285 ∑ Y = −5.48 ∑ Y =34.4096 ∑ tY = −70.07
2 2
n=9 t =5 Y = −0.6089
或将时间 t 和 Y 值输入计算器直接进行计算
则
45 × ( −5.48 ) −70.07 − 9 b= = −0.7112 2 45 285 − 9 a = −0.6089 − 5 × ( −0.7112 ) = 2.9469
k y= 1 + ax b
1 y= a + be − x
曲线： 类似的生长型曲线还有 Gompertz 曲线：
y = ke
其变换形式： 其变换形式：
− ae− bx
y = ae − b exp( − kx )
y = ke
− bx
y = k (1 + e − bx )
− kx 3
Bertalanffy 曲线： 曲线：
2
2 1.5
3 2.6
4 3.6
5 6.8
6 8.4
7 8.5
8 9.1
9 9.5
ˆ N
0.9445 1.7481 3.0030 4.6386 6.3326 7.7167 8.6448 9.1874 9.4797 0.1264 0.0615 0.1624 1.0788 0.2184 0.4669 0.0210 0.0076 0.0004
1 y= e σ 2π
( x−µ)2 −
σ2
曲线回归的计算器计算方法： 曲线回归的计算器计算方法：
mode 3
计算器将出现如下画面： 计算器将出现如下画面：
Lin Log 1 2 Exp 3
>
<
Pwr Inv Quad 1 2 3
1
> > >
ˆ y = a + bx （Lin） 线性回归： 线性回归： ˆ y = a + b ln x 2 （Log）对数回归： 对数回归： 对数回归 ˆ y = aebx 3 （Exp）指数回归： 指数回归： 指数回归 y = axb 1 （Pwr）幂函数回归： ˆ 幂函数回归： 幂函数回归 y = a +b⋅ 1 2 （inv） 双曲线回归： 双曲线回归： ˆ x 3 （Quad）抛物线回归： y = b + b x + b x 2 抛物线回归： 抛物线回归 ˆ 0 1 2
第二节 曲线类——函数型曲线方程 函数型曲线方程 （一）幂函数 y = ax b 直线化：两边取对数： 直线化：两边取对数： ln y = ln a + b ln x 令： Y = ln y
A = ln a
X = ln x
则有： 则有： Y = A + bX 对 Y = A + bX 求 A 和 b， 并得 a = ln −1 A ， 即可得： 即可得：a、b，建立方程 ， 均求对数后输入） （双对数转换，即对 x、y 均求对数后输入） 双对数转换，
（*）
end
如长度用 L、时间用 t、增重倍数用 N、体重用 W 、 、 、 等 用统计软件进行计算时， 用统计软件进行计算时，可直接将原始数据输入数 据库， 据库，调用相应的程序运算即可
第三节 曲线配合的拟合度
曲线配合完成，其方程是否理想， 曲线配合完成，其方程是否理想，同一批数据采用 不同的曲线方程进行拟合，其效果如何， 不同的曲线方程进行拟合，其效果如何，哪一种 方程更好， 方程更好，可以用曲线方程的拟合度来衡量 曲线方程的拟合度就是相关指数 R2 离回归平方和 Q（实测值与预测值之差的平方和， （实测值与预测值之差的平方和， 即剩余回归平方和） 即剩余回归平方和）在总平方和中所占的比例越 小，说明方程的效果越好，因此可以用剩余回归 说明方程的效果越好， 平方和在总平方和中的比例来表示曲线配合的好 坏：
解这一三元一次方程组，消去 解这一三元一次方程组，消去a、b，得： ，
N 0 N 2 ( k − N1 ) = N12 ( k − N 0 )( k − N 2 )
2
则 k1 = 0
k2 =
N1 ( 2 N 0 N 2 − ( N 0 N1 + N1 N 2 ) ) N0 N2 − N
2 1
=
N1 ( 2 N 0 N 2 − N1 ( N 0 + N 2 ) ) N 0 N 2 − N12
ˆ ∑( N − N )
2
= 2.1434
2
∑( N − N ) = ∑ N
2
(∑ N ) −
n
2
51.32 = 385.77 − = 93.36 9
2.1434 R = 1− = 1 − 0.0230 = 0.9770 93.36
2
R2 的平方根 R 称为相关系数，为了和简单相关系 称为相关系数， 有所区别， 数r 有所区别，曲线回归方程和多元回归方程的 相关系数称为复相关系数， 相关系数称为复相关系数，写为 R 拟合度得到后，同样需要进行显著性检验， 拟合度得到后，同样需要进行显著性检验，检验的 方法还是查 r 表 本例中， 本例中，变量个数为 m = 2，自由度 df = 7，因此 ， ，
测得某微生物在一定温度下随时间变化的平均增长量 数据如下： 数据如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 时 间t 1 增长倍数N 增长倍数 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 从下面的散点图我们可以看出，可配合S型曲线 型曲线： 从下面的散点图我们可以看出，可配合 型曲线：
代入方程， 将k、a、b代入方程，即得： N = 代入方程 即得： ˆ 或：
ˆ N=
9.78 1 + e 2.9469−0.7112t
9.78 1 + 19.0468e −0.7112t
在这一类例子中，时间往往是有效单位时间， 在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一 周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具 一月、一年、一个时间段等， 体时间如天、小时、分等， 体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可 另外，在一般的通式中， 另外，在一般的通式中，我们往往以 x、y 作为自 变量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为 变量和依变量的符号，但在具体问题中， 了更形象、更直观地说明问题， 了更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同 的字母（往往是相应的英文名词的首写字母） 的字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来 代替