一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD求证：△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MDMEAD AE =22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEFGAB CD E M 12A B C DE FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FABCDS PRQOAB CD E FA BCDEF O 123ABCDFGE（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。

再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。

所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。

从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BCBE=ABBD∴△DBE∽△ABC例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA 解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=a2，在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且2==AEECEFAE所以△EAF∽△ECA 例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，∴DF•AC=BC•FE例6 证明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴MAMEMDMA=，∴MA2=MD•ME，（2）∵△MAE∽△MDA，∴MDMAADAE=，MAMEADAE=∴MDMEMAMEMDMAADAE=•=22评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD•AC。

命题2 如图，如果AB2=AD•AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

BEACD12例7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。

怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE ：ED ”的特征，作DG ∥BA 交CF 于G ，得△AEF ∽△DEG ，DGAFDE AE =。

与结论BF AFFBAF ED AE 212==相比较，显然问题转化为证FB DG 21=。

证明：过D 点作DG ∥AB 交FC 于G 则△AEF ∽△DEG 。

（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）DGAF DEAE = （1）∵D 为BC 的中点，且DG ∥BF ∴G 为FC 的中点则DG 为△CBF 的中位线，BF DG 21= （2）将（2）代入（1）得：FBAF BF AF DE AE 221== 例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形， 证明：作FG ⊥BD ，垂足为G 。

设AB=AD=3k 则BE=AF=k ，AE=DF=2k ，BD=k 23∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=k DF 22=∴BG=k k k 22223=-∴21==BG FG AE AF 又∠A=∠FGB=900∴△AEF ∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD例9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。

利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。

要证明SQ ∥AB ，只需证明AR ：AS=BR ：DS 。

证明：在△ADS 和△ARB 中。

∵∠DAR=∠RAB=21∠DAB ，∠DCP=∠PCB=21∠ABC ∴△ADS ∽△ABR DSBR AS AR = 但△ADS ≌△CBQ ，∴DS=BQ ，则BQBRAS AR =，∴SQ ∥AB ，同理可证，RP ∥BC 例10分析：要证明AF ∥CD ，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。

其实要证明AF ∥CD ，只要证明ODOFOC OA =即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。

证明：∵AB ∥ED ，BC ∥FE ∴OD OB OE OA =，OB OF OC OE =∴两式相乘可得：ODOFOC OA =例11 分析：要证明FC=FG ，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。

要证明FC=FG ，首先要找出与FC 、FG 相关的比例线段，图中与FC 、FG 相关的比例式较多，则应选择与FC 、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到?FGFC =（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。

证明：∵ FG ∥AC ∥BE ，∴△ABE ∽△AGF 则有AEAFBE GF =而FC ∥DE ∴△AED ∽△AFC 则有AE AF DE CF = ∴GF CF AF BE DE AE ==又∵BE=DE （正方形的边长相等）∴DF GF BE BE=，即GF=CF 。

例12 证明：∵CO 平分∠C ，∠2=∠3，故Rt △CAE ∽Rt △CDO ，∴CDACOD AE =又OF ∥BC ，∴AD AB OD BF =又∵Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD AB CD AC =，即ODBFOD AE =∴AE=BF 。

一、选择题1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C2.（2009年上海市)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD BCDF CE=B ．BC DFCE AD=C ．CD BCEF BE=D ．CD ADEF AF=【关键词】平行线分线段成比例 【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】 【答案】B4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有： A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形 【答案】D5.（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶4 B ．1∶2C ．2∶1D 2【关键词】 【答案】B6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个 【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（ ） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移 【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。