∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为
x2 9 4
y2 4
1
法二：巧设方程,运用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,
9 16
(3)2 (2 3)2
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2 a2 b2
例 2：与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
9
16
1
4
双曲线的方程为 x2 y2 1 94 4
“共渐近线”的双曲线的应用源自与 x2 a2y2 b2
1共渐近线的双曲线系
方程为 x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
b
例题讲解
例1变式 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c 5 a4
渐近线方程: y 4 x 3
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)的简单几何性质
（1）范围: y a, y a （2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
-b
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
y
a o bx -a
小结
双 曲
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
x a
ya
或
y a
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x
c2 a2 b2)
A1
动画演示
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势:
a
（3）利画用出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
c2 a2 b2 谁正谁对应a
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
1,即x2
a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部 分的方程为
（1） y
b
双曲线
x2
x
aa
2
22
(xby22
1(a
0)
0, b
0)
a的渐近线为 y b x 它与y b x的位置关a系:
（2）在等 y(ma轴ba双 0x)的 的曲渐 下线近 方 x2 线 y为2 m
温故知新
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（ ０< 2a<|F1F2|）
y 双曲线的图象特点y 与几M 何性质是怎M 样?
双曲线图象
F1 o F2 x
F2
x
F1
类似于椭圆几何性质的研究.
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
焦点 a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)